Hikoya

Pifagor teoremasi: haqiqat yo'li

Pifagor teoremasi: haqiqat yo'li


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Pifagor (eramizdan avvalgi 569-475 yillar) dunyodagi birinchi matematik deb tan olingan. U Samos orolida tug'ilgan va Thales va Anaximander (birinchi g'arb faylasuflari sifatida tan olingan) bilan birga o'qigan deb taxmin qilingan. Pifagor, raqamlar nafaqat haqiqatga yo'l, balki haqiqatning o'zi, deb ishongan. Matematika orqali odam uyg'unlikka erishib, osonroq hayot kechirishi mumkin edi. Aytishlaricha, u bu maqsadda bir qancha matematik teoremalarni taklif qilgan, lekin bulardan faqat mashhur Pifagor teoremasi qolgan (Allen, 1966).

Tarixchi Robinson shunday yozadi: "" Pifagor geometriyaning arifmetik tomonida juda qattiq ishladi ", degan xulosaga kelganda, uning bir tomoni kvadratlar yig'indisiga teng bo'lgan uchburchaklar topishning arifmetik muammosi o'rganilgan. boshqa ikkalasida "va shunday qildi, u aytmoqchi bo'lgan haqiqatni tushunish uchun toshlarni ketma -ket ishlatib (1968). Pifagor teoremasi a² + b² = c² deb aytadi. Bu bizga uchburchak berilganida ishlatiladi, unda biz faqat uch tomonining ikkitasining uzunligini bilamiz. C - burchakning eng uzun tomoni gipotenuza. Agar a - qo'shni burchak bo'lsa, b - qarama -qarshi tomon. Agar b - qo'shni burchak bo'lsa, a - qarama -qarshi tomon. Agar a = 3 va b = 4 bo'lsa, biz c uchun hal qila olamiz. 32 + 42 = kv. 9 + 16 = kv. 25 = kv. c = 5. Bu Pifagor teoremasining asosiy ishlatilishlaridan biridir.

Pifagor teoremasining ko'plab dalillari bor, ularning eng mashhuri Evklidning I kitobidagi isboti. Elementlar.

Taklif: To'g'ri burchakli uchburchaklarda gipotenuzadagi kvadrat oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng.

Evklid Pifagor konfiguratsiyasidan boshlagan, so'ngra maydonlar tengligini ko'rsatuvchi chiziq orqali chiziq chizgan. U AB/AC = AC/HA, shuning uchun (AC) ² = (HA) (AB) degan xulosaga keldi. AB = AJ bo'lgani uchun, HAJG to'rtburchagining maydoni AC tomonidagi kvadrat maydoniga to'g'ri keladi. Xuddi shunday, AB/BC = BC/BH ham (BC) ² = (BH) (AB) = (BH) (BD) va AB = BD bo'lgani uchun yozilgan. Shunday qilib, biz to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisi gipotenuzadagi kvadratning maydoni ekanligini ko'ramiz. Stefani Morrisning so'zlari bilan aytganda, "Bu isbotni to'ldiradi" (Morris, 2011).

Odamlar tushunishi osonroq bo'lgan yana bir dalil to'rtburchaklar uchburchakka bo'linadi, hammasi to'g'ri burchakli.

BEA uchburchagi va BCE uchburchagi ACD uchburchagiga to'g'ri keladi. BCE uchburchagi va ACD uchburchagini solishtirib, ularning tegishli qirralarini ko'rib, AC/BC = AD/EC ekanligini ko'ramiz. AD = miloddan avvalgi, AC/AD = AD/EC. Ko'paytirish orqali bu tenglama (AD) ² = (AC) (AE) ko'rsatiladi. ABC va ABE uchburchaklaridan, AB = CD ekanligini ta'kidlab, bu ikki raqamning to'g'ri burchaklarini solishtirib, AC/AB = CD/AE tenglamasini chiqaramiz. Asl to'rtburchaklar shaklidan bizda AB = CD, shuningdek AC/CD = CD/AE sifatida berilgan bo'lib, u ko'paytirish muammosi sifatida yozilgan (CD) ² = (AC) (AE) va hozirgacha mavjud bo'lgan tenglamalarni qo'shib, Biz ikkita yangi formulani olamiz: (CD) ² + (AD) ² = (AC) (AE) + (AC) (EC) va (CD) ² + (AD) ² = (AC) (AE + EC). AC = AE + EC bo'lgani uchun biz (CD) ² + (AD) ² = (AC) ² ni olamiz. Oldingi dalillar singari, bu Pifagor teoremasining haqiqiyligini ko'rsatadi (Morris, 2011).

Pifagor teoremasida har bir tomon/burchak boshqa burchaklarni/tomonlarni aniqlashga yordam beradigan muhim ma'lumotdir. Pifagor ob'ektiv haqiqatga ishondi, bu raqam. Pifagor teoremasi haqiqatni yuqoridagi matematik tenglamalar orqali bilishga imkon beradi, bu esa har qanday shaxsiy fikrdan tashqarida, aslida isbotlanishi mumkin bo'lgan ob'ektiv haqiqat borligini bildiradi; va bu, nihoyat, Pifagor o'z ishi orqali isbotlamoqchi bo'lgan narsa.

Sevgi tarixi?

Haftalik bepul elektron pochta xabarnomasiga yoziling!


Pifagor teoremasi: haqiqat yo'li - tarix

Bu insho men bu chorakda olgan darsdan ilhomlangan. Dars matematika tarixi. Bu darsda biz matematikani o'qitishda matematika tarixini qanday kiritishni o'rganamiz. Matematika tarixini o'z sinfingizga kiritishning bir usuli - qadimiy matematika muammolarini o'z ko'rsatmalaringizga kiritish. Yana bir usul - mavzuni biroz tarixi bilan yangi mavzuni tanishtirish. Umid qilamanki, bu insho sizga Pifagor teoremasi tarixini uni o'qitish va o'rganishga qanday kiritish haqida ba'zi fikrlarni beradi.

Biz qadimgi tsivilizatsiyalarda ishlab chiqilgan turli mavzularni muhokama qildik. Pifagor teoremasi ana shu mavzulardan biridir. Bu teorema qadimgi tsivilizatsiyalarga ma'lum bo'lgan birinchi teoremalardan biridir. U yunon matematigi va faylasufi Pifagor nomi bilan atalgan. Teorema uning nomi bilan atalgan bo'lsa -da, bizda bobilliklar bu munosabatni 1000 yil oldin bilishgani haqida dalillar bor. Miloddan avvalgi 1900 yilga tegishli Bobil matematik plansheti Plimpton 322, Pifagor uchliklari jadvalini o'z ichiga oladi. Qadimgi xitoycha matn "Chou-pei" bizga xitoylar Pifagor teoremasi haqida ko'p yillar oldin Pifagor yoki uning Pifagor jamiyatidagi hamkasblaridan biri bilgani to'g'risida dalil beradi. Bu teoremaning Pifagor nomi bilan atalishining sababi.

Pifagor miloddan avvalgi VI -V asrlarda yashagan. U Krotonada Pifagor maktabiga asos solgan. Bu maktab matematika, falsafa va tabiatshunoslikni o'rganadigan akademiya edi. Pifagor maktabi - bu maktabdan ko'ra, sirli marosimlar va marosimlar bilan birodarlik bilan chambarchas bog'liq bo'lgan kvota (Eves 75). Shu sababli maktab Italiyaning demokratik kuchlari tomonidan vayron qilingan. Birodarlik tarqoq bo'lsa -da, u yana ikki asr davom etdi. Pifagor va uning hamkasblari matematikaga ko'p hissa qo'shgan.

Quyida Pifagor teoremasi yillar davomida qanday isbotlanganligi haqidagi tadqiqotlar keltirilgan.

& quotTo'g'ri burchakli uchburchak gipotenuzasidagi kvadrat ikki oyog'idagi kvadratlarning yig'indisiga teng & quot (Eves 80-81).


Bu teorema to'g'ri uchburchakning har bir tomonida qurilgan kvadratchalar maydoni haqida.

Shunga ko'ra, biz kvadratlar uchun quyidagi maydonlarni olamiz, bu erda yashil va ko'k kvadratlar o'ng uchburchakning oyoqlarida va qizil kvadrat gipotenuzada joylashgan.

yashil maydonning maydoni
ko'k kvadratning maydoni
qizil maydonning maydoni

Bizning teoremamizdan quyidagi munosabatlar mavjud:

yashil kvadrat maydoni + ko'k kvadrat maydoni = qizil kvadrat maydoni yoki

Yuqorida aytib o'tganimdek, bu teorema Pifagor nomi bilan atalgan, chunki u buni birinchi isbotlagan. Ehtimol, u bu teoremani isbotlashda quyidagilarga o'xshash dissektsiya turini ishlatgan.

& quotA, b, c berilgan to'g'ri uchburchakning oyoqlari va gipotenuzasini bildirsin va har birining yon tomoni a+b bo'lgan ikkita kvadratni ko'rib chiqaylik. Birinchi kvadrat oltita bo'lakka bo'linadi: oyoqlaridagi ikkita kvadrat va berilgan uchburchakka to'g'ri keladigan to'rtta to'g'ri uchburchak. Ikkinchi kvadrat beshta bo'lakka bo'linadi-gipotenuzadagi kvadrat va to'rtburchaklar to'rtburchaklar berilgan uchburchakka mos keladi. Tenglardan tenglarni chiqarib, endi gipotenuzadagi kvadrat oyog'idagi kvadratlarning yig'indisiga teng ekanligi aniqlanadi & quot (Eves 81).

Quyidagi rasmga e'tibor bering.

Birinchi kvadrat maydoni (a+ b)^2 yoki 4 (1/2 ab)+ a^2+ b^2 bilan berilgan.
Ikkinchi kvadratning maydoni (a + b)^2 yoki 4 (1/2 ab) + c^2 bilan berilgan.
Kvadratlar teng maydonga ega bo'lgani uchun biz ularni boshqasiga teng qilib, tenglarini olib tashlashimiz mumkin. (A+b)^2 = (a+b)^2 holati qiziq emas. Boshqa ishni qilaylik.
4 (1/2 ab) + a^2 + b^2 = 4 (1/2 ab) + c^2
Ikkala tomondan ham tenglarni olib tashlash

Pifagorning isbotini yakunladi.
Yillar mobaynida Pifagor teoremasining turli dalillarini berish uchun ko'plab matematiklar va matematiklar bo'lmagan. Quyida Bxaskaraning va sobiq prezidentlarimizdan biri, prezident Jeyms Garfildning dalillari keltirilgan. Men bu dalillarni tanladim, chunki ulardan har qanday sinfda foydalanish maqsadga muvofiqdir.

Bxaskaraning birinchi isboti

Bxaskaraning isboti ham diseksiyaning isboti. Bu Pifagor tomonidan berilgan dalillarga o'xshaydi. Bhaskara Hindistonda tug'ilgan. U miloddan avvalgi II asrning eng muhim hind matematiklaridan biri edi. U Pifagor teoremasini isbotlashda quyidagi sxemalardan foydalangan.

Yuqoridagi diagrammalarda ko'k uchburchaklar bir -biriga mos keladi va sariq kvadratlar mos keladi. Avval biz katta maydonning maydonini ikki xil usulda topishimiz kerak. Avval kvadrat uchun maydon formulasidan foydalanib maydonni topamiz.
Shunday qilib, A = c^2.
Keling, har bir komponentning maydonini topish orqali maydonni topamiz va keyin maydonlarni yig'amiz.
Moviy uchburchaklar maydoni = 4 (1/2) ab
Sariq kvadratning maydoni = (b-a)^2
Katta kvadratning maydoni = 4 (1/2) ab + (b-a)^2
= 2ab + b^2 - 2ab + a^2
= b^2 + a^2

Chunki, qanday qilib topsangiz ham, maydon bir xil maydonga ega
A = c^2 = a^2 + b^2,
dalilni yakunlash.


Bhaskaraning Pifagor teoremasining ikkinchi isboti

Bu dalilda Bxaskara to'rtburchaklar uchburchakdan boshlagan va keyin gipotenuzaga balandlik chizgan. Bu erdan u teoremani isbotlash uchun o'xshashlik xususiyatlaridan foydalangan.

Endi ABC va CBE uchburchaklar o'xshashligini isbotlang.
AA postulatidan kelib chiqadiki, ABC uchburchagi CBE uchburchagiga o'xshaydi, chunki B burchagi B burchagiga va C burchagi E burchagiga to'g'ri keladi. Shunday qilib, ichki nisbatlar s/a = a/c ga teng.
Ikkala tomonni ac ga ko'paytiramiz
sc = a^2.

Endi ABC va ACE uchburchaklar o'xshashligini ko'rsating.
Avvalgi kabi, AA postulatidan kelib chiqadiki, bu ikki uchburchak o'xshash. A burchagi A burchagiga va C burchagi E burchagiga mos keladi. Shunday qilib, r/b = b/c. Miloddan avvalgi har ikki tomonni ham ko'paytiramiz
rc = b^2.

Endi biz ikkita natijani qo'shsak, biz olamiz
sc + rc = a^2 + b^2.
c (s + r) = a^2 + b^2
c^2 = a^2 + b^2,
Pifagor teoremasining isbotini yakunlash.

Garfildning isboti

AQShning yigirmanchi prezidenti Pifagor teoremasiga quyidagi dalillarni keltirdi. U bu dalilni prezident bo'lishidan besh yil oldin aniqlagan. U bu dalilni 1876 yilda Kongressning ba'zi a'zolari bilan matematikadan bahslashganda urdi. Keyinchalik u New England Journal of Education jurnalida chop etilgan. Dalil o'ng trapetsiyaning maydonini ikki xil usulda hisoblashga bog'liq. Birinchi usul - trapetsiyaning maydon formulasidan foydalanish, ikkinchisi - trapetsiyada qurilishi mumkin bo'lgan uchta to'g'ri uchburchakning maydonlarini yig'ish. U o'z isbotini ishlab chiqishda quyidagi trapezoiddan foydalangan.

Birinchidan, biz trapetsiyaning maydon formulasidan foydalanib, trapetsiyaning maydonini topishimiz kerak.
A = (1/2) h (b1+b2) trapezoid maydoni

Yuqoridagi diagrammada h = a+b, b1 = a va b2 = b.

Keling, uchta to'g'ri uchburchakning maydonini yig'ib, trapetsiyaning maydonini topaylik.
Sariq uchburchakning maydoni
A = 1/2 (ba).

Qizil uchburchakning maydoni
A = 1/2 (c^2).

Moviy uchburchakning maydoni
A = 1/2 (ab).

Uchburchaklar maydonining yig'indisi
1/2 (ba) + 1/2 (c^2) + 1/2 (ab) = 1/2 (ba + c^2 + ab) = 1/2 (2ab + c^2).

Bu maydon trapezoid maydoniga teng bo'lgani uchun bizda quyidagi munosabatlar mavjud:
(1/2) (a^2 + 2ab + b^2) = (1/2) (2ab + c^2).


Pifagor teoremasi

Nima uchun matematika maktabda o'rgangan boshqa fanlardan (yaxshi ma'noda) farq qiladi?

Ikki so'z: Pifagor teoremasi.

Tushuntirib beray. Pifagor teoremasining o'zi matematikaning yagona sababi emas, bu mening fikrimni tasvirlash uchun ishlatmoqchi bo'lgan misoldir. Men bu teoremani misol sifatida tanladim, chunki bu mening matematikadan qanchalik zavqlanishidan yoki darsda qanchalik yaxshi o'qishidan qat'i nazar, hamma matematika darsidan eslab qoladigan narsalardan biridir. Ammo, agar P.T. aqldan ozgansiz, mana bu xulosa:

Har qanday to'g'ri burchakli uchburchak uchun gipotenuzaning kvadrati (tomoni o'ng burchakka (90 daraja) qarama -qarshi), boshqa ikki tomonining kvadratining yig'indisiga teng.

Bu natija yunon matematik va faylasufi Pifagorga tegishli (shuning uchun teoremaning ijodiy nomi). Pifagor eramizdan avvalgi V -VI asrlarda yashagan. va u oxir -oqibat teoremani isbotlagan kishi bo'lsa -da, teoremaning natijasi Bobilliklar Pifagor tug'ilishidan 1000 yil oldin ma'lum bo'lganligi haqida dalillar mavjud. Eski planshetga e'tibor bering:

Voy, bu eski. Bu erda siz Bobilliklar va Pifagor teoremasi haqida ko'proq o'qishingiz mumkin.

Men shuni aytmoqchimanki, siz 3000 yil oldin odamlar qilgan operatsiyalarni boshqa qaysi sinfda qilyapsiz? Albatta, tarix darsida siz avvalgi tsivilizatsiyalar haqida bilib olasiz, lekin sizga qanday qilib o'rgatishmaydi qilmoq tarix xuddi shu tsivilizatsiyalar bilan bir xilda. Zamonaviy tarix talab qiladigan aniqlik o'sha qadimgi odamlarga umuman noma'lum edi. Ehtimol, adabiyotda siz Homer va#8217 -larni o'qidingiz Iliada va Odisseya, lekin yana, sizga epik she'riyatning bir xil uslubida yozishni o'rgatishmaydi.

Xo'sh, nima uchun matematika darsida, albatta, yutuqlarga erishilgan va texnologiya uzoq yo'lni bosib o'tgan bo'lsa -da, biz hisob -kitoblarni ming yillar oldin qanday qilib amalga oshirgan bo'lsak ham foydalidir?

Mening javobim: agar haqiqatga duch kelsangiz, hech narsa yaxshilanmaydi, yaxshilanmaydi. Haqiqat.

Xudo haqiqat degan xristianlik e'tiqodiga ega bo'lgan hammamiz uchun, haqiqat - bu Xudo haqidagi haqiqat va matematika - bu ilohiyotning bir qismi.

"Tashqi dunyoni tadqiq qilishning asosiy maqsadi, Xudo bizga yuklagan va bizga matematika tilida ochib bergan ratsional tartib va ​​uyg'unlikni kashf qilish bo'lishi kerak."


Bobil matematikasida Pifagor teoremasi

Ushbu maqolada biz Bobilning to'rtta planshetini ko'rib chiqamiz, ularning barchasi Pifagor teoremasi bilan bog'liq. Albatta, bobilliklar Pifagor teoremasini yaxshi bilishgan. Britaniya muzeyida saqlanayotgan Bobil planshetining tarjimasi quyidagicha:

Biz batafsil ko'rib chiqmoqchi bo'lgan barcha planshetlar taxminan o'sha davrga to'g'ri keladi, ya'ni miloddan avvalgi 1900 yildan 1600 yilgacha Mesopotamiyada gullab -yashnagan Eski Bobil imperiyasi davridan.


Bu erda a mintaqa xaritasi bu erda Bobil tsivilizatsiyasi gullab -yashnagan.


"Bobil matematikasi" maqolasida tsivilizatsiya qanday paydo bo'lganligi va ular meros bo'lib o'tgan matematik asoslar haqida ma'lumot berilgan.

Bizni qiziqtirgan to'rtta planshetni Yel planshetini YBC 7289, Plimpton 322 (quyida ko'rsatilgan), Susa va Tell Dhibayi planshetlari deb ataymiz. Keling, matematikani tasvirlashdan oldin, bu planshetlar haqida bir oz gapirib beraylik.

Biz ta'riflaydigan Yel YBC 7289 plansheti Yel universiteti Yel Bobil kolleksiyasida saqlanadigan katta planshetlar to'plamidan biridir. U planshetdan iborat bo'lib, unda diagramma paydo bo'ladi. Diagramma diagonallari chizilgan 30 -yon tomonning kvadratidir. Planshet va uning ahamiyati birinchi marta [5] va yaqinda [18] da muhokama qilingan.


Plimpton 322 bu Kolumbiya universitetida joylashgan G A Plimpton kollektsiyasidagi 322 raqamli planshet.


Rasmdan ko'rishingiz mumkinki, planshetning yuqori chap burchagi shikastlangan va planshetdan o'ng tomonining o'rtasida katta chip bor. Uning sanasi aniq ma'lum emas, lekin u miloddan avvalgi 1800 yildan 1650 yillarga to'g'ri keladi. Qolganlari vayron qilingan katta planshetning faqat bir qismi, deb taxmin qilinadi va dastlab bunday planshetlar tijorat operatsiyalari yozuvi deb o'ylagan. Ammo [5] da Nyugebauer va Sachs yangi talqin berdi va o'shandan beri unga katta qiziqish uyg'otdi.

Susa plansheti Eronning Xuziston viloyatining hozirgi Shush shahrida topilgan. Shahar qadimgi Bobil shahridan taxminan 350 km uzoqlikda joylashgan. V K Loftus 1850 -yillarning boshlarida buni muhim arxeologik joy deb aniqlagan, ammo keyinchalik qazish ishlari olib borilmagan. Bu erda bizni qiziqtirgan planshet aylana radiusini teng burchakli uchburchakning uchlari orqali qanday hisoblashni o'rganadi.

Nihoyat, Tell Dhibayi plansheti 1962 yilda arxeologlar tomonidan Bag'dod yaqinida topilgan 500 ga yaqin planshetlardan biri edi. Ko'pchilik Eshunna Ibalpiel II davrida gullab -yashnagan va taxminan 1750 yillarga to'g'ri keladigan qadimiy shahar ma'muriyati bilan bog'liq. Bizni qiziqtirgan planshet - bu boshqaruv bilan bog'liq emas, balki geometriya muammosini ko'rsatadigan, uning maydoni va diagonali ma'lum bo'lgan to'rtburchaklar o'lchamlarini so'raydigan planshet.

Ushbu to'rtta planshetdagi matematikani ko'rib chiqishdan oldin, ularning Bobil matematikasi doirasini tushunishdagi ahamiyati haqida bir oz gapirish kerak. Birinchidan, biz muallifning xayolida bo'lmagan, bugun aniq ko'rinadigan matematik fikrlarni o'qimaslikdan ehtiyot bo'lishimiz kerak. Aksincha, biz matematikaning ahamiyatini kamsitib yubormaslik uchun ehtiyot bo'lishimiz kerak, chunki u matematiklar tomonidan yaratilgan, chunki ular hozirgi matematiklardan juda farq qiladi. Bu to'rtta planshetning Bobil matematikasi haqida aytganlari haqidagi yakuniy izoh sifatida, biz ehtiyot bo'lishimiz kerak, bobilliklarning deyarli barcha matematik yutuqlari, agar ularning hammasi loydan qilingan planshetlarga yozilgan bo'lsa ham, yo'qolib ketadi. ular tirik qolganlar orasida ayniqsa muhim, ular Bobil matematikasining eng yaxshi vakili bo'lmasligi mumkin.

Yel YBC 7289 planshetining nima ekanligini tushunishda muammo yo'q.


Bu erda a Yel planshetining diagrammasi


Unda bir tomoni 30 bo'lgan kvadratning diagrammasi, diagonallari markazda va uning yonida chizilgan: 1, 24, 51, 10 va 42, 25, 35. Albatta, bu raqamlar Bobil raqamlari bilan 60 tagacha yozilgan. Bobil raqamlari haqidagi maqolamizga qarang. Endi Bobil raqamlari har doim ham noaniqdir va butun sonning qaerda tugashi va kasr qismi boshlanishi haqida hech qanday ko'rsatma yo'q. Birinchi raqamni 1 24, 51, 10 deb hisoblasak, uni kasr kasriga aylantirish 1ni beradi. 414212963 esa √ 2 = 1. 414213562. 30 × [1 24, 51, 10] ni hisoblash 42 25, 35 ni beradi, bu ikkinchi raqam. 30 tomonining kvadratining diagonalini 30 ga √ 2 ga yaqinlashtirib topamiz.

Bu Pifagor teoremasini yaxshi tushunishini ko'rsatadi.Ammo, bundan ham muhimroq, bobilliklar bu 2 -chi songa juda yaxshi yaqinlikni qanday topishdi. Bir nechta mualliflar, masalan, [2] va [4] ga qarang, bobilliklar Heron uslubiga teng usulni qo'llagan deb taxmin qilishadi. Taklif shundan iboratki, ular taxmin bilan boshladilar, x x x deylik. Keyin ular e = x 2- 2 e = x^ <2>- 2 e = x 2- 2 ni topdilar, bu xato. Keyin

Bu, albatta, mumkin va bobilliklarning kvadratikani tushunishi bu da'voni biroz og'irlashtiradi. Algoritmning boshqa holatlarda ishlatilishiga hech qanday dalil yo'q va uni bu erda ishlatish juda uzoq imkoniyatdan uzoq bo'lmasligi kerak. Men [EFR] muqobil taklif qilsam maylimi. Bobilliklar kvadratlar jadvallarini ishlab chiqarishdi, aslida ularning ko'paytirish haqidagi to'liq tushunchasi yumaloq kvadratlar edi, shuning uchun ular uchun aniqroq yondashuv ikkita taxminni aytgan bo'lar edi: biri baland va pasti a a va b b b. Ularning o'rtacha $ a + b 2 Large frac 2 2 a + b va uni kvadratga aylantiring. Agar kvadrat 2 dan katta bo'lsa, b b b ni shu chegara bilan almashtiring, agar kvadrat 2dan kichik bo'lsa, a a ni a + b 2 Large frac bilan almashtiring. 2 2 a + b. Algoritm bilan davom eting.

Bu, albatta, 1, 24, 51, 10 soniyali yaqinlik darajasiga erishish uchun yana ko'p qadamlarni oladi. Aslida a = 1 a = 1 a = 1 va b = 2 b = 2 b = 2 bilan boshlanganda, quyidagi jadvalda ko'rsatilgandek, 19 qadamni oladi: Ammo, bobilliklar hisoblashdan qo'rqmagan va ular davom ettirishga tayyor bo'lishgan bo'lishi mumkin. Uchinchi o'rinda to'g'ri javob bo'lmaguncha bu oddiy hisob.


Keyin yana ko'rib chiqamiz Plimpton 322


Planshetda 15 qatorli to'rtta ustun bor. Oxirgi ustunni tushunish oson, chunki u qator raqamini beradi va 1, 2, 3,. , 15. Neugebauer va Sachs [5] ta'kidlagan ajoyib haqiqat shundaki, har bir satrda 3 -ustunda c c c sonining kvadrati 2 -ustundagi b b b sonining kvadrati mukammal kvadrat, deylik h h h.

Shunday qilib, jadval Pifagor uchliklarining to'liq ro'yxati. Neugebauer va Sachs yozuvchi to'rtta transkripsiya xatosini har bir ustunda ikkitadan qilgan deb ishonishadi, chunki bu to'g'ri emas, chunki qoidalar ishlashi uchun bu talqin zarur. Xatolar haqiqiy xato deb hisoblansa -da, masalan, yozuvchi 8, 1 ni 9, 1 qilib ko'chirgan.

Bir nechta tarixchilar (masalan, [2] ga qarang) 1 -ustun sekant funktsiyasi bilan bog'liq deb taxmin qilishgan. Biroq, Yusuf aytganidek [4]:-

Zeeman ajoyib kuzatuvni amalga oshirdi. Agar u bobilliklar h = 2 mn, b = m 2-n 2, c = m 2 + n 2 h = 2mn, b = m^<2> -n^<2>, c formulalarini qo'llaganligini ko'rsatdi. = m^ <2> + n^ <2> h = 2 mn, b = m 2 - n 2, c = m 2 + n 2 Pifagor uchliklarini hosil qilish uchun u erda n ≤ 60, 30 ° ≤ ni qondiradigan aniq 16 uchlik bor. t ≤ 45 ° n ≤ 60, 30 ° ≤ t ≤ 45 ° n ≤ 6 0, 3 0 ° ≤ t ≤ 4 5 ° va tan ⁡ 2 t = h 2 / b 2 tan^<2> t = h ^ <2> / b^ <2> tan 2 t = h 2 / b 2 cheksiz sonli kichik kengayishga ega (bu m, n, bm, n, bm, n, b, 2, 3 va 5 ga teng) ularning yagona asosiy bo'linuvchilari). Endi Zifan shartlariga javob beradigan 16 ta Pifagor uchliklaridan 15 tasi Plimpton 322 da paydo bo'ladi. Bu matematik tasnifning birinchi teoremasi ma'lummi? Garchi men Zeemanning gapi to'g'ri ekaniga ishonmasam -da, men uning izohi to'g'ri yo'lda bo'lishi kerak deb o'ylayman.

Plimpton 322 haqida adolatli munozara qilish uchun shuni aytish kerakki, hamma tarixchilar ham bu planshet Pifagor uchligiga tegishli degan fikrga qo'shilmaydilar. Masalan, Exarchakos, [17] da, planshet kvadrat tenglamalar yechimi bilan bog'liq va Pifagor uchliklari bilan hech qanday aloqasi yo'q, deb da'vo qiladi:-

Susa planshetida 50, 50 va 60 qirrali teng yonli uchburchak muammosi ko'rsatilgan. Muammo aylana radiusini uchta tepalik orqali topishdir.


Pifagor va boshqa x27 teoremasi: Vegetarianizmning qisqacha tarixi

Yaqinda, "Heritage Radio Network" haftalik "O'tmishning ta'mi" dasturida Linda Pellasio Shimoliy Amerika Vegetarianlar Jamiyatining muallifi va tarixiy maslahatchisi Reyn Beridan intervyu oldi.

Berri, o'smirlik chog'ida, hayvonlar so'yishdan oldin tashvishlanishini boshdan kechirganini bilganidan beri vegetarian edi. O'shandan beri uning vegetarianizmi vegetarian turmush tarziga aylandi, ya'ni u hayvonot mahsulotlarini, shu jumladan asalni nafaqat dietasidan, balki kiyimidan ham chiqarib tashladi.

Pellasio bilan Berri miloddan avvalgi VI asrdan buyon tarixning hujjatlashtirilgan qismi bo'lgan vegetarianizmning traektoriyasini muhokama qildi. Berrining so'zlariga ko'ra, birinchi vegetarianlar jamiyatini qadimgi yunon matematikasi Pifagor (to'qqizinchi sinf geometriyasining asosiy o'yinchisi) asos solgan. Pifagor nafaqat uchburchaklarni ajratibgina qolmay, balki shaxsan unga zo'ravonliksiz vegetarianizm bilan shug'ullanishga ilhom bergan Pifagor zamondoshi Buddaning xushxabarini tarqatdi. Pifagor uchun go'shtdan voz kechish uning ma'naviy qadriyatlaridan kelib chiqqan bo'lib, ovqatlanish tarixda ancha keyinroq ratsionga kirmaydi. Aslida, har qanday hayvonot mahsuloti bo'lmagan dieta aslida "Pifagor" parhezi deb atalgan, 1944 yilgacha, vegetarianlar jamiyati asoschisi Donald Vatson vegetarian so'zini yaratgan. Vegetarianizm birinchi marta 1848 yilda hujjatlashtirilgan, ehtimol, Oksford olimi.

Berri vegetarianizm haqida bir nechta kitob yozgan, shu jumladan Mashhur vegetarianlar. Taniqli go'sht iste'mol qilmaydiganlarga Benjamin Franklin kiradi, uni Berri "vegetarianizm bilan shug'ullanadigan yagona asoschi", shuningdek, shifokorlar guruhi tomonidan go'sht yoki ochlikdan yeyish kerakligini aytgan Jorj Bernard Shou. U nafaqat och qolmadi, balki 94 yoshigacha yashadi.

19 -asrning boshqa vegetarianlari o'zlarining ismlari merosini zamonaviy oziq -ovqat lug'atiga kiritdilar. Yettinchi kun adventisti va makkajo'xori parchalarini ixtirochi Jon Xarvi Kellogg nonni nonushta uchun alternativa sifatida yaratdi. Silviter Grem, sabr -toqatli, donli va vegetarian parhezlar haqida va'z qilgan Presviteriya vaziri, u oziqlanish jihatidan ustun bo'lgan mahsulot deb hisoblaydigan kraker yaratdi. S'mores ixlosmandlari, gulxan yoqishining zamonaviy versiyasi, graham krakerining asl prototipiga deyarli o'xshamasligiga amin bo'lishlari mumkin.

Vejeteryanizmning traektori ayniqsa qiziq, ayniqsa Amerikada, bu erda bir necha bor tarix o'zining qayta tiklanishini qayd etgan. Men ushbu maqolada aytib o'tgan birinchi vegetarianlar, o'z dinlaridan ilhomlanib, go'shtsiz dietaga rioya qilishdi. Ularning maqsadlari turlicha bo'lishi mumkin, lekin umumiy turtki - bu ruhiy ravshanlik tuyg'usi edi, unga go'shtsiz dietani iste'mol qilish orqali erishish mumkin edi. Faqat XX asrga kelib Amerika vegetarianizmni dunyoviy uslubda qabul qildi. 1960-yillardagi zo'ravonliklardan kelib chiqqan va yaqinlashib kelayotgan ekologik ofatlar tahdidlari ostida tanazzulga uchragan chaqaloq-bumer avlodi asosan ekologiyadan va Yerga yaqinlashish istagidan ilhomlangan ovqatlanishni qabul qilgan. Bu vaqtga kelib Frensis Mur Lappening mashhur kitobi. Kichik sayyora uchun ovqatlanish (1971), vegetarianizm Amerikaning kollektiv ongiga kirib keldi.

Bugun biz vegetarian reduxni ko'rib turibmiz. Bir tomondan, jamiyatda ovqatlanishga sig'iniladi va go'shtsiz diet sog'lom turmush tarziga qabul qilinadigan kirish nuqtasiga aylandi. Hatto vegetarianizmning ekstremal versiyalari, masalan, vegetarianizm va xom-ashyo dietasi, o'z tamg'asini yo'qotishni boshladi. Uilyam Jefferson Klinton, asoschi otasi bo'lmagan, lekin sobiq prezidenti bo'lgan, tez tayyorlanadigan ovqatdan qat'iy vegetarian dietasiga o'tishi haqida ochiq aytgan. Reyn Berri Klintonni "koronar vegetarian" deb ataydi, u yurak xurujidan yoki katta protseduradan so'ng, shifokor tavsiyasiga ko'ra, o'simlikka asoslangan dietaga o'tadi. Ehtimol, ularning sobiq prezidentidan ilhomlangan yoki, ehtimol, hozirgi tendentsiya to'lqinini bosib o'tgan amerikaliklar, yangi go'shtsiz dietalari bilan qasam ichgan mashhur kishilarning vasiyatnomalarini tinglashgan. Kamdan-kam hollarda etika turtki bo'ladi va ovqatlanishga yo'naltirilgan impuls "men o'z go'shtimni xohlayman" va "men ham o'zimni yaxshi his qilmoqchiman" burchagida o'yinchilarning kesimini yaratdi. Sog'lom bo'lishni xohlaydigan yangi biznes, ta'mga bo'lgan ishtiyoqni yo'qotmasdan, "go'shtsiz dushanba" kabi harakatlarni ilhomlantirdi, bu esa sovuq kurkaga bormasdan, oziq -ovqat zanjirida pastroq ovqatlanishga undaydi. Yoki sovuq tofurkey, vaziyatga ko'ra.

Ko'rib turganimizdek, shafqatsiz dietaga bo'lgan axloqiy sadoqat, diqqatni qayta yo'naltirish orqali yumshatilgan va ommalashgan. Ha, biz hali ham hayvonlar haqida qayg'uramiz, lekin endi biz sog'lom va baxtli hayot kechirgan jonzotlarni iste'mol qila olishimizni bilganimizdan so'ng, ularning qoni bizning qo'limizda qolishini ta'kidlamaymiz. Ta'kidlash joizki, amerikaliklarning atigi besh foizi o'zlarini vegetarianlar deb atashadi va aholining ko'pchiligi go'sht eyuvchilar, atrof -muhitga va o'z sog'lig'iga kuchli va ijobiy ta'sir ko'rsatishning boshqa usullari mavjud. Go'sht etkazib berishda zotlarning xilma-xilligiga e'tibor qaratish va faqat barqaror boqiladigan chorva mollarini sotib olish-go'sht iste'molchilar e'tiborga olishlari kerak bo'lgan samarali va muhim tanlovdir. Vegetarianizm o'z -o'zidan murakkab, chunki chorvachilik va sut sanoati o'rtasidagi chuqur munosabatlar go'shtni dietadan, lekin pishloq va sutdan chiqarib tashlashni tanlashda katta munozaralarga sabab bo'ladi. Sizning dietangizda qanday tanlov qilishingizdan qat'i nazar, nuqta sog'lik, rahm -shafqat va ekologiya o'rtasida qanchalik ko'p bog'liq bo'lsa, sizning dietangiz sizning ongingiz va tanangiz uchun shunchalik to'yimli bo'ladi.

Linda Pellasio va Reyn Berri o'rtasidagi asl intervyuni bu erda tinglang.

Rin Berri va uning vegetarianizm haqidagi kitoblari haqida ko'proq bilish uchun bu erni bosing.


Pifagor teoremasi: haqiqat yo'li - tarix

Keling, to'g'ri burchakli uchburchakning yon tomonlarida kvadratlar tuzamiz. Keyin Pifagor teoremasi ikkita kichik kvadratning (maydonlarining) yig'indisi katta maydonga teng ekanligini da'vo qiladi.

Algebraik ma'noda, a 2 + b 2 = c 2 qayerda v bu gipotenuzadir a va b uchburchakning qirralari.

Teorema Evklid geometriyasida muhim ahamiyatga ega, bu erda u ikki nuqta orasidagi masofani aniqlash uchun asos bo'lib xizmat qiladi. Bu juda oddiy va ma'lumki, menimcha, o'rta maktabda geometriya darslarini o'qigan har bir kishi, boshqa matematik tushunchalar unutilganidan keyin ham, eslay olmaydi.

Men Pifagor teoremasining bir nechta geometrik dalillarini keltirmoqchiman. Bu sahifaga Jim Morey yozgan ajoyib Java appleti turtki bo'ldi. Bu sahifadagi birinchi dalil. Mening birinchi Java ilovalarimdan biri Evklidning yana bir dalilini ko'rsatish uchun yozilgan. Hozirgi vaqtda Java -da turli xil dalillarning bir nechta tasvirlari mavjud, lekin ularning ko'pchiligi oddiy grafik diagrammalar yordamida oddiy HTML -da tasvirlangan.

Izoh

Teorema bayoni miloddan avvalgi 1900-1600 yillardagi Bobil planshetida topilgan. Pifagor (miloddan avvalgi 560-480 yillar) yoki uning maktabidan kimdir birinchi bo'lib uning isbotini kashf qilgan bo'lsin, hech qanday ishonch bilan da'vo qilib bo'lmaydi. Evklid (miloddan avvalgi 300 -yillar) Elementlar Geometriyada birinchi va keyinroq standart ma'lumotnomani taqdim eting. Jim Morining appleti I.47 (Birinchi kitob, 47 -taklif) taklifiga, VI.31 -minutiga mos keladi. Teorema teskari, ya'ni qirralari 2 +b 2 = c 2 ga teng bo'lgan uchburchak to'g'ri burchakli bo'ladi. Evklid birinchi bo'lib (I.48) bu haqiqatni eslatdi va isbotladi.

V. Dunxem [Matematik olam] kitobini keltiradi Pifagor taklifi 20 -asr boshlarida professor Elisha Skott Loomis tomonidan. Kitob Pifagor teoremasining 367 tasdig'idan iborat bo'lib, NCTM tomonidan 1968 yilda qayta nashr etilgan.

Pifagor teoremasi yuqori o'lchamli bo'shliqlarni umumlashtiradi. Ba'zi umumlashmalar aniq emas.

Larri Xoin kosinuslar qonuni bilan bog'liq bo'lgan, lekin qisqa va chiroyli ko'rinadigan tekislik umumlashmasini o'ylab topdi.

Formulasi evklid masofasi va evklid va Hilbert bo'shliqlari tushunchasiga olib keladigan teorema, umuman matematikada muhim rol o'ynaydi. Men matematik faktlarni to'plashni boshladim, ularning isboti Pifagor teoremasiga asoslangan bo'lishi mumkin.

(EWD) belgisi (a + b - g) = belgisi (a 2 + b 2 - c 2),

bu erda (t) belgisi signal funktsiyasi:

Bu sahifaga bag'ishlangan teorema "Agar Dijkstra (EWD) haqli ravishda ko'proq nosimmetrik va ma'lumotliroq deb topsa. Transsendental miqdorlarning yo'qligi (p) qo'shimcha afzallik deb hisoblanadi.

Isbot #2

Biz yon tomonlari bo'lgan ikkita kvadratdan boshlaymiz a va bmos ravishda yonma -yon joylashtirilgan. Ikki kvadratning umumiy maydoni a 2 +b 2 .

Qurilish uchburchak bilan boshlanmagan, lekin hozir biz ikkitasini, ikkalasini ham yon tomondan chizamiz a va b va gipotenuza v. E'tibor bering, ikkita kvadrat uchun umumiy bo'lak olib tashlandi. Shu nuqtada bizda ikkita uchburchak va g'aroyib ko'rinish mavjud.

Oxirgi qadam sifatida biz 90 o uchburchaklarni har biriga yuqori tepa atrofida aylantiramiz. O'ng tomon soat yo'nalishi bo'yicha, chap uchburchak esa soat sohasi farqli o'giriladi. Shubhasiz, hosil bo'lgan shakl yon tomoni va maydoni bo'lgan kvadratdir c 2 .

(Bu dalilning varianti 4832 raqami bilan ro'yxatdan o'tgan Turkiyadagi Aya Sofya Musium kutubxonasida joylashgan Th & acircbit ibn Qurra qo'lyozmasida mavjud. [R. Shloming, Th & acircbit ibn Qurra va Pifagor teoremasi, matematika o'qituvchisi 63) 1970 yil oktyabr), 519-528]. Ibn Qurroning diagrammasi 27-dalilga o'xshaydi. Dalilning o'zi, hozirgi dalil №2 kabi, g'aroyib ko'rinadigan shaklni o'rab turgan to'rtta teng to'rtburchaklar borligini ta'kidlashdan boshlanadi. to'rtta uchburchaklar juft bo'lib, joriy dalilda aylantirilgan uchburchaklarning boshlang'ich va oxirgi pozitsiyalariga to'g'ri keladi. Xuddi shu konfiguratsiyani kesish yo'li bilan isbotlash mumkin.)

Isbot #3

Endi biz bir xil uchburchakning to'rt nusxasidan boshlaymiz. Ulardan uchtasi mos ravishda 90 o, 180 o va 270 o burildi. Har birining maydoni bor ab/2. Keling, ularni qo'shimcha aylanmasdan birlashtiramiz, shunda ular yonli kvadrat hosil qiladi v.

Kvadratning to'rtburchaklar teshigi bor, uning yonini yig'indisi va 2ab, to'rtburchaklar maydoni (4 va middotab/2), biz olamiz

4 -isboti

To'rtinchi yondashuv bir xil to'rtburchaklar bilan boshlanadi, lekin bu safar ular yon tomoni bilan kvadrat hosil qiladi (a+b) va yon tomonidagi teshik v. Biz katta maydonning maydonini ikki usulda hisoblashimiz mumkin. Shunday qilib

(a + b) 2 = 4 va o'rtadaab/2 + v 2

soddalashtirish, biz kerakli identifikatorni olamiz.

Isbot №5

Bu dalil, Prezident J.A. Garfild 1876 yilda [Pappas] - bu avvalgisining o'zgarishi. Lekin bu safar biz umuman kvadrat chizmaymiz. Endi kalit - trapezoid maydoni formulasi - asoslarning yarmi yig'indisi balandlikdan - (a+b)/2 va middot (a+b). Rasmga boshqacha nazar tashlasak, uni uchta uchburchakning maydonlari yig'indisi sifatida ham hisoblash mumkin - ab/2 + ab/2 + vva middotv/2. Avvalgidek, soddalashtirishlar o'z samarasini beradi a 2 +b 2 = c 2 .

Xuddi shu trapezoidning ikkita nusxasini trapezoidning qiyalik tomoniga yopishtirib, ikki xil usulda birlashtirish mumkin. Biri 4 -dalilga, ikkinchisi 52 -dalilga olib keladi.

6 -isboti

Biz ABC bilan belgilangan asl uchburchakdan boshlaymiz va faqat bitta qo'shimcha tuzilishga muhtojmiz - AD balandligi. ABC, BDA va ADC uchburchaklar o'xshash, bu ikkita nisbatga olib keladi:

AB/BC = BD/AB va AC/BC = DC/AC.

Bular boshqa yo'l bilan yozilgan

AB va middotAB = BD va middotBC va AC va middotAC = DC va middotBC

Shaxsiy yozishmalarda doktor Frantsiya Dakar, Lyublyana, Sloveniya, o'ngdagi diagramma ikkita maqsadga xizmat qilishi mumkinligini aytdi. Birinchidan, bu 6 -sonli dalilga qo'shimcha grafik tasvirni beradi. Bundan tashqari, u ikkinchisining 1 -dalilga bo'lgan munosabatini ta'kidlaydi.

7 -isboti

Keyingi dalil Evklid VI.31 dan Ser Tomas L. Xit tarjimasida so'zma -so'z olingan. Buyuk G. Polya buni "Matematika induktsiyasi va analogiyasi" (II.5) asarida tahlil qiladi, bu matematika o'qituvchilari va o'quvchilariga tavsiya etiladi.

To'g'ri burchakli uchburchakda, o'ng burchak ostida joylashgan yon tomonidagi rasm to'g'ri burchakni o'z ichiga olgan tomonlarning o'xshash va o'xshash tasvirlangan raqamlariga teng.

ABC BAC burchagi to'g'ri burchakli uchburchak bo'lsin, men aytmoqchimanki, miloddan avvalgi raqam BA, AC dagi o'xshash va o'xshash tasvirlangan raqamlarga teng.

AD perpendikulyar chizilsin. Keyin, ABC to'g'ri burchakli uchburchakda AD, A burchagidan BC asosiga perpendikulyar chizilganligi sababli, perpendikulyarga ulashgan ABD, ADC uchburchagi ham butun ABCga, ham bir-biriga o'xshashdir [VI.8 ].

Va ABC AQShga o'xshash bo'lgani uchun, CB BA ga bo'lgani kabi, AB dan BDgacha [VI.Def.1].

Va uchta to'g'ri chiziq mutanosib bo'lgani uchun, birinchisi uchinchisida bo'lgani kabi, ikkinchisida ham birinchi va shunga o'xshash tasvirlangan rasmga o'xshashdir [VI.19]. Shunday qilib, CB BDga o'xshab, CBdagi ko'rsatkich ham BAdagi o'xshash va shunga o'xshash ta'rifga o'xshaydi.

Xuddi shu sababga ko'ra, miloddan avvalgi kompakt diskda bo'lgani kabi, miloddan avvalgi raqam ham CAda, shuning uchun miloddan avvalgi BD, shaharda bo'lgani kabi, miloddan avvalgi raqam shunga o'xshash va shunga o'xshash tasvirlangan raqamlarga o'xshaydi. BA, AC.

Ammo miloddan avvalgi BD, DC ga teng, shuning uchun miloddan avvalgi raqam BA va ACda o'xshash va o'xshash tasvirlangan raqamlarga teng.

Tan olish

Men bu isbotning haqiqiy bahosini men yuqorida aytib o'tgan Polyaning kitobini o'qigandan keyingina oldim. Umid qilamanki, Java ilovasi bu ajoyib dalilning tubiga kirishga yordam beradi. E'tibor bering, aslida tasdiqlangan bayonot teoremaga qaraganda ancha umumiydir.

Isbot №8

Evklidning isbotini ko'rsatuvchi applet bilan o'ynab (7 -son), men yana bir kashf qildim, lekin u yomon bo'lsa -da, maqsadga xizmat qiladi.

Shunday qilib, 1 -uchburchakdan boshlab, biz 7 -dalilda tavsiya etilgan usulda yana uchtasini qo'shamiz: shunga o'xshash va o'xshash tasvirlangan 2, 3 va 4 -uchburchaklar, 6 -isbotda bo'lgani kabi, biz bir -biriga nisbatlarini chiqaramiz, biz yon uzunlikka diagrammada tasvirlangan. Endi oxirgi shaklga ikki xil qarash mumkin:

  • to'rtburchak (1+3+4) va uchburchak 2 ning birlashmasi sifatida, yoki
  • to'rtburchak (1+2) va ikkita uchburchak 3 va 4 ning birlashmasi sifatida.

ab/c & middot (a 2 + b 2)/c + ab/2 = ab + (ab/c & middot a 2/c + ab/c & middot b 2/c)/2

ab/c & middot (a 2 +b 2)/c/2 = ab/2 yoki (a 2 +b 2)/c 2 = 1

Izoh

O'tmishda, oddiyroq dalil bor. To'rtburchakka qarang (1+3+4). Uning uzun tomoni, bir tomondan, oddiy v, boshqa tomondan, bu 2 /c+b 2 /c va biz yana bir xil identifikatorga egamiz.

Isbot #9

Yana bir dalil, 2 -dalilga o'xshab, qattiq bo'laklarni qayta joylashtirishdan kelib chiqadi. Bu 4 -dalilning algebraik qismini mutlaqo keraksiz qiladi. Ikkita rasmga hech narsa qo'sha olmaydi.

(Grafikadan foydalanishga ruxsat bergani uchun Monty Phisterga samimiy minnatdorchiligimni bildiraman.)

Isbot #10

Bu va keyingi 3 ta dalil [PWW].

3 -isbotdagi uchburchaklar boshqa tarzda joylashtirilishi mumkin, bu esa Pifagor kimligini aniq ko'rsatib beradi.

(O'ng tarafdagi tushunarli diagramma menga Monti Fister tomonidan xushmuomalalik bilan yuborilgan.)

Isbot #11

Radiusi c bo'lgan aylana va tomonlari a va b bo'lgan to'g'ri uchburchakni rasmda ko'rsatilganidek chizamiz. Bunday holda, ma'lum bo'lgan bir nechta faktlardan birini qo'llash mumkin. Masalan, diagrammada aylanada joylashgan uchta F, G, H nuqta a balandlikdagi FK balandlikdagi boshqa to'g'ri uchburchakni hosil qiladi. Uning GH gipotenuzasi (c+b)/(c-b) nisbatiga bo'linadi. Shunday qilib, 6 -isbotda bo'lgani kabi, biz 2 = (c+b) (c -b) = c 2 - b 2 ni olamiz.

Isbot #12

Bu dalil Evklidning asl dalillaridan biri bo'lgan #1 -sonli o'zgarishdir. 1,2 va 3 -qismlarda ikkita kichik kvadrat bir -biriga qirqilgan, shunda umumiy soyali maydon o'zgarmaydi (va 2 +b 2 ga teng). 3 -qismda, soyaning vertikal qismi uzunligi. maydonning chegarasi aynan c, chunki qolgan ikkita uchburchak asl nusxaning nusxasi. Bu shuni anglatadiki, soyali maydonni pastga siljitish mumkin. 4 -qismda. Bu erdan Pifagor teoremasi osonlikcha amal qiladi.

(Bu dalilni H. Evesda topish mumkin, Matematik doiralarda, MAA, 2002, 74-75-betlar)

Isbot #13

Diagrammada bir nechta o'xshash uchburchaklar mavjud (abc, a'b'c, a'x va b'y.)

y/b = b '/c, x/a = a'/c, cy + cx = aa ' + bb'.

Va nihoyat, cc '= aa' + bb '. Bu 6 -isbotga juda o'xshaydi, lekin natija umumiyroq.

Isbot №14

H.Dudeneyning (1917) bu isboti katta tomonidagi kvadratni to'rt qismga kesib, kichiklari bilan birlashib, gipotenuzaga qurilgan kvadrat hosil qilishdan boshlanadi.

Purdue universitetidan Greg Frederikson, chinakam nurli kitob muallifi, Diseksiyonlar: samolyot va farasingiz (Kembrij universiteti matbuoti, 1997), tarixiy noaniqlikka ishora qilgan:

Siz № 14 dalilni H.E.ga havola qildingiz. Dudeney (1917), lekin u aslida ilgari (1873) London birjeri Genri Perigal tomonidan nashr etilgan. X asrda arab matematik/astronomi Sabit tomonidan berilgan boshqa dalillar ancha oldin paydo bo'lgan. Men yaqinda nashr etilgan "Diseksiyalar: samolyot va xayolot", Kembrij universiteti matbuoti, 1997 va boshqa kitoblarning dalillarini (shu jumladan kosinlar qonunining isbotlarini) o'z ichiga olganman. Siz kitobning veb -sahifasidan bahramand bo'lishingiz mumkin:

Britaniya Kolumbiya Universitetidan Bill Kasselman Greg haqidagi ma'lumotni soniyasiga etkazdi. Meniki kelgan So'zsiz dalillar R.B.Nelsen tomonidan (MAA, 1993).

Isbot #15

K.O. Fridrixsning bu ajoyib isboti Dyudenining oldingi xulosasi. Bu haqiqatan ham umumiy. Umumiy ma'noda, cheksiz xilma -xil geometrik dalillar kelib chiqishi mumkin. (Rojer Nelsen [PWWII, 3 -bet] bu dalilni Arabistonlik Annairiziga (taxminan milodiy 900 -yil) yozadi)

Isbot № 16

Bu dalil Leonardo da Vinchi (1452-1519) [Eves] ga tegishli. ABHI, JHBC, ADGC va EDGF to'rtburchaklar teng. (Bu ABH burchagi 45 o ga teng bo'lgan kuzatuvdan kelib chiqadi. Buning sababi shundaki, ABC to'g'ri burchakli, shuning uchun ACJI kvadratining O markazi ABC uchburchagi bilan chegaralangan doirada yotadi. Shubhasiz, ABO burchagi 45 o). maydon (ABHI)+maydon (JHBC) = maydon (ADGC)+maydon (EDGF). Har bir summa ABC (IJH yoki BEF) ga teng bo'lgan uchburchaklarning ikkita maydonini o'z ichiga oladi, bu esa Pifagor teoremasini oladi.

Devid King argumentni biroz o'zgartiradi

Olti burchakli tomonlarning uzunligi bir xil. P burchaklar (a va c orasidagi to'g'ri burchak + burchak) bir xil. Q burchaklar (b va c orasidagi to'g'ri burchak + burchak) bir xil. Shunday qilib, to'rtburchaklar ham bir xil.

17 -isboti

Bu dalil IV kitobida keltirilgan Matematik to'plam Iskandariyalik Pappus (milodiy taxminan 300) [Eves, Pappas]. U Pifagor teoremasini ikki xil usulda umumlashtiradi: ABC uchburchagi to'g'ri burchakli bo'lishi shart emas va uning yonlarida qurilgan shakllar kvadratlar o'rniga o'zboshimchalik bilan parallelogrammlardir. Shunday qilib, AC va mos ravishda miloddan avvalgi CADE va ​​CBFG parallelogrammlarini tuzing. DE va ​​FG ni H da uchratsin va AL va BM ni parallel va HC ga teng chizilsin. Keyin maydon (ABML) = maydon (CADE)+maydon (CBFG). Darhaqiqat, #1 va 12 -sonli dalillarda allaqachon ishlatilgan o'zgarish bilan maydon (CADE) = maydon (CAUH) = maydon (SLAR), shuningdek maydon (CBFG) = maydon (CBVH) = maydon (SMBR). Endi, teng bo'lgan narsani qo'shing.

Isbot #18

Bu to'g'ri burchaklarni talab qilmaydigan yana bir umumlashma. Bu Th & acircbit ibn Qurra (836-901) [Eves] tufayli. Agar CAB, AC'B va AB'C burchaklari teng bo'lsa, ABC, AC'B va AB'C uchburchaklar o'xshash. Shunday qilib, bizda bor va bu darhol kerakli identifikatsiyaga olib keladi. Agar A burchagi to'g'ri bo'lsa, teorema Pifagor taklifiga va 6 -dalilga kamayadi.

Isbot #19

Bu dalil 6 -sonli o'zgarishdir. Kichik AB tomoniga ABC ga o'xshash ABD to'g'ri burchakli uchburchak qo'shing. Keyin, tabiiyki, DBC boshqa ikkisiga o'xshaydi. AD = AB 2/AC va BD = AB va middotBC/AC dan biz AB/AC ga bo'linishni olamiz.

Isbot #20

Bu 7 -dan 19 -gacha bo'lgan xoch. Diagrammadagidek ABC ga o'xshash ABC ', BCA' va ACB 'uchburchaklar yasang. Qurilish bo'yicha, ABB va ABC uchburchaklar ham tengdir. Shunday qilib, biz xulosa qilamizki, uchburchaklar o'xshashligidan biz avvalgi kabi B'C = AC 2 /BC va BC '= AC & middotAB /BC topamiz. Barchasini birlashtirganda, xuddi shunday bo'ladi

Isbot #21

Quyida Nyu -York Sinay tibbiyot maktabidan doktor Skott Brodining maktubidan parcha keltirilgan, u menga teoremaning to'g'riligi va uning kosinozlar qonuniga umumlashtirilishini isbotlovchi ikkita dalil yuborgan:

Men birinchi dalilni aylana shaklida yozilgan to'rtburchaklar to'g'risidagi Ptolomey teoremasiga asoslangan "Loyiha matematikasi" turkumidagi ajoyib munozaradan keltiraman: bunday to'rtburchaklar uchun qarama -qarshi tomonlarning uzunliklari juft bo'lib olingan mahsulotlarining yig'indisi tengdir. ikki diagonal uzunliklarining hosilasi. To'rtburchak bo'lsa, bu darhol 2 + b 2 = c 2 ga kamayadi.

Isbot #22

Doktor Skott Brodi maktubining ikkinchi isboti.

Ma'lumki, biz "nuqta kuchi" teoremalarini olamiz: Agar nuqta aylananing tashqarisida olinsa va nuqtadan aylana bilan kesma chizilgan bo'lsa va aylanani ikkiga bo'ladigan boshqa segment (sekant) chizilsa. aniq nuqtalar, shunda teginish uzunligining kvadrati sekant bo'ylab tashqi nuqtadan aylana bilan kesishishga yaqinroq bo'lgan masofaga va sekans bo'ylab kesishish nuqtasi bilan masofaning hosiliga teng bo'ladi. aylana

ABC to'g'ri burchakli C burchakli uchburchak bo'lsin. S balandlikdan gipotenuzaga R chizilsin, bu balandlik etagini bildirsin. Keyin CPB to'g'ri bo'lgani uchun, P nuqtasi BC diametrli aylanada yotadi va CPA to'g'ri bo'lgani uchun, P nuqtasi AC diametrli aylanada yotadi. Shunday qilib, dastlabki to'rtburchakning BC, CA oyoqlarida ikkita aylananing kesishishi P ga to'g'ri keladi va, ayniqsa, AB ustida yotadi. Belgilash x va y navbati bilan BP va PA segmentlarining uzunligi va odatdagidek ruxsat bering a, b, v ABC tomonlarining uzunliklarini mos ravishda A, B, C burchaklarga qarating. Keyin, x + y = v.

C burchagi to'g'ri bo'lgani uchun, BC diametri CA diametrli aylanaga tegib turadi va kuch teoremasi shuni bildiradiki a 2 = xc xuddi shunday, AC miloddan avvalgi diametrli aylanaga tegib turadi va b 2 = yc. Qo'shamiz, topamiz a 2 + b 2 = xc + yc = c 2 , Q.E.D.

Doktor Brodi, shuningdek, bu dalilni ko'rsatish uchun Geometer's SketchPad faylini yaratdi.

Isbot #23

Yana bir dalil, men 7 -isbotda uchburchak maydonlarini ko'rsatish uchun ishlatgan Heron formulasiga asoslangan. Bu tekislik geometriyasida teoremaning markaziyligini aks ettiruvchi Pifagor teoremasini isbotlashning ancha murakkab usuli.

Isbot #24

[Swetz] bu dalilni Abu l'Hasan Th & acircbit ibn Qurra Marw & acircn al'Harrani (826-901) ga bog'laydi. Bu Th & acircbit ibn Qurra bergan dalillarning ikkinchisi. Birinchisi, aslida yuqoridagi #2.

Dalil #12 -dalilning 3 -qismiga o'xshaydi. ABC = FLC = FMC = BED = AGH = FGE. Bir tomondan, ABDFH shakli maydoni AC 2 + BC 2 + maydoniga (ABC + FMC + FLC) teng. Boshqa tomondan, maydon (ABDFH) = AB 2 + maydoni (BED + FGE + AGH).

Bu yuqoridagi dalilning "ochilmagan" variantidir. Shubhasiz, ikkita beshburchakli mintaqalar - qizil va ko'k - tengdir va har biridan uchta teng uchburchak olib tashlansa, o'sha maydonni tark etadi.

Dalil, takrorlanmas muallif Monti Fister tomonidan ommalashgan Gnarly matematika CD-ROM.

Isbot #25

B.F.Yanney (1903, [Swetz]) "1 va 12 -isbotlar" da ishlatilgan "siljish argumenti" yordamida dalil keltirdi. LMOA, LKCA va ACDE (AC 2) maydonlari ketma -ket, HMOB, HKCB va HKDF (BC 2) maydonlari bilan tengdir. BC = DF. Shunday qilib AC 2 + BC 2 = maydon (LMOA) + maydon (HMOB) = maydon (ABHL) = AB 2.

Isbot #26

Bu dalil men Bill Kasselman tomonidan saqlanadigan saytda topilgan, u erda Java appleti taqdim etilgan.

Yuqoridagi barcha dalillar bilan, bu oddiy bo'lishi kerak. 6 yoki 13 -sonli dalillarda bo'lgani kabi o'xshash uchburchaklar.

Isbot #27

26 -dalil bilan bir xil bo'laklarni boshqa usulda o'zgartirish mumkin.

Bu disektsiya ko'pincha 17 -asr Gollandiyalik matematik Frans van Shootenga tegishli. [Frederikson, s. 35] buni Ibn Qurroning bir -biriga bog'langan varianti deb biladi, 2 -isbotdan keyin qavs ichidagi yozuvga qarang. Sloveniyalik doktor Frantsiya Dakar shuni ko'rsatdiki, xuddi shu diagramma 15 -dalilda tesselation bilan oson tushuntiriladi. Aslida, buni boshqa tesselatsiya bilan yaxshiroq tushuntirish mumkin. (Duglas Rojersga buni menga to'g'ri yo'l qo'ygani uchun minnatdorman.)

Isbot #28

MathForumdan Melissa Running menga xushmuomalalik bilan Liu Xuining (milodiy III asr) Pifagor teoremasining isboti havolasini yubordi. Sahifani Xitoyda fan va texnika tarixi bo'yicha mutaxassis Donald B. Vagner yuritadi. Diagramma Liu Xui (miloddan avvalgi III asr) tomonidan yozilgan algoritmning yozma tavsifidan olingan rekonstruksiya. Tafsilotlar uchun siz asl sahifaga o'tasiz.

Isbot #29

Teoremaning mexanik isboti o'ziga xos sahifaga loyiqdir.

Bu dalilga Scott Brodie tomonidan Pifagor teoremasining "Ekstra-geometrik" dalillari sahifasi kiradi.

Isbot #30

Bu dalilni men R. Nelsenning davomidan topdim So'zsiz dalillar II. (Bu Po-sung Park tufayli va dastlab nashr etilgan Matematika jurnali, 1999 yil dekabr). To'g'ri burchakli uchburchakning bir tomonidan boshlab, berilgan uchburchakdan keyingi ikkita perpendikulyar va apits gipotenuzlari bo'lgan 4 ta to'g'ri chiziqli teng burchakli uchburchaklar yasang. Bu uchburchaklarning birinchisining gipotenuzasi (diagrammada qizil rangda) tomonlardan biriga to'g'ri kelishi kerak.

Ikki burchakli uchburchaklarning uchlari berilgan uchburchakning gipotenuzasiga teng qirrali kvadrat hosil qiladi. Bu uchburchaklarning gipotenuslari kvadratning yon tomonlarini o'rta nuqtalarida kesib tashlaydi. Shunday qilib, 4 juft teng uchburchak paydo bo'ladi (juftlardan biri yashil rangda). Juftlikdagi uchburchaklardan biri kvadrat ichida, ikkinchisi tashqarida. Asl uchburchakning qirralari a, b, c bo'lsin (gipotenuza). Agar birinchi tenglamali uchburchak b tomonda qurilgan bo'lsa, unda har birining maydoni b 2/4. Biz olamiz

Bu erda ikkita kichik kvadratni ajratib ko'rsatish va ularni katta maydonga qayta joylashtirishni ko'rsatadigan dinamik rasm va boshqa diagramma.

Isbot №31

To'g'ri ABC berilgan bo'lsa, odatdagidek, BC, AC va gipotenuzaning uzunliklarini mos ravishda a, b va c deb belgilaylik. Diagrammadagidek BC va AC tomonlarida to'rtburchaklar tiklang. SAS ma'lumotlariga ko'ra, ABC va PCQ uchburchaklar teng, shuning uchun M gipotenuzaning o'rta nuqtasi bo'lsin. MC va PQ kesishishini R. deb belgilang. Buni ko'rsataylik

Gipotenuza medianasi ikkinchisining yarmiga teng. Shuning uchun, CMB - bu ikkilamchi va lekin bizda ham bor va bu burchak CRP to'g'ri, yoki

Ushbu dastlabki o'yinlar yordamida biz MCP va MCQ uchburchaklariga o'tamiz. Biz ularning maydonlarini ikki xil baholaymiz:

Bir tomondan, M dan kompyutergacha bo'lgan balandlik AC/2 = b/2 ga teng. Lekin shuning uchun, Boshqa tomondan, Xuddi shunday, va ham

Biz ikkita identifikatorni sarhisob qilishimiz mumkin: yoki

(Men minnatdorchilik bildiraman, bu dalilni mening e'tiborimga etkazgan Floor van Lamoenga. U paydo bo'ldi Pifagor - maktab o'quvchilari uchun golland matematik jurnali - 1998 yil dekabr sonida, Bruno Ernst maqolasida. Dalil 1938 yildagi Enn Kondit ismli Amerika o'rta maktab o'quvchisiga tegishli.)

Isbot 32

ABC va DEF ikkita mos keladigan to'g'ri burchakli uchburchaklar bo'lsin, bunda B DE va ​​A, F, C, E chiziqli. ,,. Shubhasiz, ADE maydonini ikki xil usulda hisoblang.

Maydon (ADE) = AB va middotDE /2 = c 2/2, shuningdek Idorani BCE va DFE o'xshash uchburchaklaridan topish mumkin: narsalarni yig'ish natijasida biz olamiz

(Bu dalil Shimoliy Florida universiteti talabasi Mishel Uotkins tomonidan tasdiqlangan dalillardan birining soddalashtirilishi. Matematik spektr 1997/98, v30, n3, 53-54.)

Duglas Rojers bir xil sxemaga boshqacha munosabatda bo'lish mumkinligini payqadi:

32 -isboti biroz keyinroq tuzatilishi mumkin, yaqinda qo'shilgan dalillar chizig'i bo'ylab va shunga o'xshash uchburchaklardan saqlanish.

Albatta, ADE - bu AB asosidagi DE asosidagi uchburchak, shuning uchun maydoni cc/2.

Lekin uni FEB uchburchagiga va ADBF to'rtburchagiga ajratish mumkin. Birinchisining bazasi FE va miloddan avvalgi balandligi bor, shuning uchun aa/2 maydoni. Ikkinchisi, o'z navbatida, birlashgan balandliklari AC bo'lgan DF tayanchining orqa tomonidagi ikkita uchburchakdan iborat, shuning uchun maydon bb/2. Muqobil diseksiyada ADE uchburchagi ADC uchburchagi va CDE uchburchagidan iborat bo'lib, ular o'z navbatida, miloddan avvalgi poydevorida, orqa balandligi EF bo'lgan ikki uchburchakdan iborat.

Keyingi ikkita dalil Kembrijdagi Stonexill kolleji professori Shai Simonsonning quyidagi xabariga hamroh bo'ladi, MA:

Men sizning saytingizni ko'rib zavqlanardim va Pyth teoremasi isbotlarining uzun ro'yxatiga tushib qoldim.

"Matematik zukkolik tarixi" kursida men to'g'ri burchakli uchburchakda yozilgan aylana ishlatilgan ikkita dalilni ishlataman. Har bir dalil ikkita diagramadan foydalanadi va ularning har biri men ko'p yillar oldin kashf etgan va matematika o'qituvchisiga yozgan xatimda chop etilgan bitta algebraik dalilning boshqa geometrik ko'rinishi.

Ikkita geometrik dalil so'zlarni talab qilmaydi, lekin biroz o'ylashni talab qiladi.

Isbot #33

Isbot #34

Isbot #35

Buzilgan Domino - Mario Pacekning ismi (aka Pakoslav Gvizdalski) - shuningdek, biroz o'ylashni talab qiladi.

Elektron pochta orqali yuborilgan dalilga quyidagi xabar ilova qilingan:

Bu matematikaning eng asosiy teoremasining yangi, g'ayrioddiy va o'ta oqlangan isboti (367 -sonli dalillar bo'yicha g'olibni topshiradi) fanga ma'lum bo'lgan hamma narsadan, shu jumladan xitoylar va Jeyms A. Garfildning (AQShning 20 -prezidenti) ustundir. ), chunki bu to'g'ridan -to'g'ri, hech qanday formulalarni o'z ichiga olmaydi va hatto maktabgacha yoshdagi bolalar ham buni olishlari mumkin. Ehtimol, bu yo'qolgan asl nusxaga o'xshaydi - lekin kim buni isbotlay oladi? Hali Ginnes rekordlar kitobiga kirmagan!

Bo'laklarni birlashtirish usuli o'ziga xos bo'lishi mumkin. Diseksiyaning o'zi yaxshi ma'lum (26 va 27 -dalillarga qarang) va Frederikson kitobida tasvirlangan. 29. U erda ta'kidlanganidek, B. Brodie (1884) shunday disektsiya xuddi shunga o'xshash to'rtburchaklar uchun ham qo'llanilishini kuzatgan. Disektsiya, shuningdek, K.O. Fridrixsning superpozitsion isbotining alohida namunasidir.

Isbot #36

Bu dalil J. E. B & oumlttcherga tegishli va Nelsen tomonidan keltirilgan (So'zsiz dalillar II, p. 6).

Menimcha, bu dalilni so'zsiz yorib o'tish o'rta yoki o'rta maktab geometriyasi uchun yaxshi mashqdir.

Isbot #37

Devid Kingning bu dalilni tasdiqlovchi appleti alohida sahifaga joylashtirilgan.

Isbot #38

Bu dalil menga Devid King tomonidan ham aytilgan. Kvadratlar va 2 uchburchaklar birlashib, ikkita teng olti burchakli maydonni ishlab chiqaradi, ular 9 -isbotda bo'lgani kabi o'rnatilishi mumkin edi. Biroq, ikkala olti burchak ham samolyotni tessellashadi.

Chap tessellatsiyadagi har olti burchak uchun o'ng burchakda olti burchak bor. Ikkala tessellatsiya ham xuddi bir xil panjara tuzilishiga ega, bu applet tomonidan ko'rsatiladi. Pifagor teoremasi har olti burchakdan ikkita uchburchak olib tashlanganidan keyin isbotlangan.

Isbot #39

(J. Barri Satton tomonidan, Matematika gazetasi, v 86, n 505, 2002 yil mart, p72.)

ABC -ga kiriting, burchak C = 90 o. Odatdagidek, AB ning D va E nuqtalarini shunday belgilang

Qurilish bo'yicha, C markazi A va radiusi b bo'lgan aylanada yotadi. Burchagi DCE o'z diametriga bo'ysunadi va shuning uchun to'g'ri bo'ladi: ACE teng chiziqli bo'lgani uchun,

Uchburchaklar DBC va EBC DBC -ni baham ko'radi. Bundan tashqari, shuning uchun DBC va EBC uchburchaklar o'xshash. Bizda yoki

a 2 = c 2 - b 2,
a 2 + b 2 = c 2.

Diagramma Th & acircbit ibn Qurroning isbotini eslatadi. Ammo ikkalasi ham butunlay boshqacha.

Isbot #40

Bu Toledo universitetidan Maykl Xardi tomonidan yozilgan va 1988 yilda "Matematik intellektual" jurnalida chop etilgan. Uni tuz bilan olish kerak.

ABC BC gipotenuzasi bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak bo'lsin. Belgilang va keyin, C AC chizig'i bo'ylab harakat qilganda, x o'zgaradi va y o'zgaradi. Faraz qilaylik, x oz miqdorda dx ga o'zgargan. Keyin y oz miqdorda o'zgargan. CDE uchburchagi taxminan to'g'ri deb hisoblanishi mumkin. Buni taxmin qilsak, u AQSh uchburchagi bilan bir burchakka (D) ega va shuning uchun ikkinchisiga o'xshash. Bu nisbat yoki (ajratiladigan) differentsial tenglamaga olib keladi

integratsiyadan keyin y 2 - x 2 = const beradi. Sobitning qiymati hamma uchun x uchun boshlang'ich shartidan aniqlanadi.

Bu dalil bilan muammoni hal qilish oson. Uchburchak bo'lish nimani anglatadi? Men quyidagi tushuntirishni taklif qila olaman. ABC va ABD uchburchagi to'g'ri tuzilgan. Bizda, shuningdek, Pifagor teoremasi bor. X va y nuqtai nazaridan, teorema quyidagicha ko'rinadi

x 2 + a 2 = y 2
(x + dx) 2 + a 2 = (y + dy) 2

ayirgandan keyin beradi

Kichik dx va dy uchun dx 2 va dy 2 kichikroq va e'tiborga olinmasligi mumkin

Mayklning vinyetasidagi hiyla - bu yaqinlashtirish masalasini chetlab o'tish. Ammo, birinchi navbatda, Pifagor teoremasiga tayanmasdan, hosilani oqlash mumkinmi? Qanday bo'lmasin, men hamma joyda tenglamani shu geometrik kontekstda joylashtirishdan juda mamnunman.

Isbot #41

Bu menga Lucent Technologies kompaniyasidan Jefri Margreyv tomonidan yuborilgan. U 8 -raqamga o'xshaydi, lekin boshqa yo'l bilan keladi. Uchburchakning a, b, c qirrali 3 o'lchamli nusxasini a, b va c ga navbat bilan ko'paytirib yarating.Birgalikda, shu tarzda olingan uchta o'xshash uchburchaklar to'rtburchaklar hosil qiladi, ularning yuqori tomoni, pastki tomoni c 2. (Bu, shuningdek, 8 -sonni qisqartirilgan bo'lishi mumkinligini ko'rsatadi.)

Bundan tashqari, faqat ikkita uchburchakni tanlash 6 va 19 -sonli dalillarning bir variantiga olib keladi:

Bu shaklda dalil [Birkhoff, p. 92].

№8 bilan bog'liq bo'lishi mumkin bo'lgan yana bir variant Jeyms F tomonidan yuborilgan:

Ikkinchisida egizak bor, a va b o'z rollarini almashtiradi.

Isbot #42

Dalil #33 [Pritchard, p. 226-227].

Shubhasiz, uchburchakning maydoni rp, bu erda r - uchburchakning aylana va yarimperimetridir. Diagrammadan gipotenuza yoki uchburchakning maydoni ikki usulda hisoblanadi:

(Dalil Jek Oliverga tegishli va dastlab nashr etilgan Matematik gazeta 81 (1997 yil mart), 117-118-betlar.)

Dalil #43

Yuqoridagi diagrammada nuqta teoremasining kuchini qo'llang, bu erda a tomoni b radiusli aylanaga teginish sifatida xizmat qiladi: natija darhol keladi.

(Bu yerdagi konfiguratsiya asosan 39 -dalil bilan bir xil. Nuqta teoremasining chaqirilishi 39 -dalilda keltirilgan argumentga yorliq sifatida qaralishi mumkin.)

Dalil № 44

39 -sonli quyidagi dalil Adam Rose tomonidan taqdim etilgan (23 sentyabr, 2004.)

Ikkita bir xil to'g'ri burchakli uchburchaklar bilan boshlang: ABC va AFE, A va BE ning o'rtasi. ABda D belgisini va AF kengaytmasida G ni belgilang

(Boshqa eslatmalar uchun yuqoridagi diagramaga qarang.) BCD - bu ikkilamchi. Shuning uchun, C burchagi to'g'ri bo'lgani uchun,

AFE EFG -dan tashqarida bo'lgani uchun, lekin EFG ham isoscelesdir. Shunday qilib

Endi bizda ikkita chiziq bor: CD va EG, CG kesishgan ikkita muqobil ichki burchak bilan, ACD va AGE, teng. Shuning uchun, CD || EG. ACD va AGE uchburchaklar o'xshash va AD/AC = AE/AG:

va Pifagor teoremasi amal qiladi.

Isbot #45

Bu dalil Xitoy matematikasi tarixini tadqiq qilish paytida unga kelgan Duglas Rojersga tegishli. Ikkalasining ham onlayn versiyalari bor:

Dalil - 33, 34 va 42 -sonli variantlar. Isbot ikki bosqichda davom etadi. Birinchidan, dan kuzatilishi mumkin

bu erda d - a va b qirrali va g gipotenuzali to'g'ri burchakli uchburchakka yozilgan aylananing diametri. Bunga asoslanib va ​​bo'laklarni ikki xil tartibga solish, Pifagor teoremasi bo'lmagan holda yana bir dalil beradi:

Isbot № 46

Bu dalil Tao Tong (Matematika o'qituvchisi, 1994 yil fevral, O'quvchilarning mulohazalari) bilan bog'liq. Men buni Duglas Rojersning yaxshi xizmatlari orqali bildim, u ham mening e'tiborimni 47, 48 va 49 -sonli dalillarni keltirdi. Ruhiy jihatdan, dalil 32 -dalilga o'xshaydi.

ABC va BED teng burchakli uchburchaklar bo'lsin, AB ustida E. Biz AQSh maydonini ikki usulda baholaymiz:

Diagrammada ko'rsatilgan yozuvlardan foydalanib, biz BFC va ABC uchburchaklarining o'xshashligini ta'kidlab topamiz:

Ikkala formulalar ham osonlikcha Pifagor o'ziga xosligini birlashtiradi.

Isbot #47

O'rta maktab o'quvchisi Jon Kavamura bilan bog'liq bo'lgan bu dalil, Oklend, Kaliforniya shtatining Xed-Rouz maktabining geometriya o'qituvchisi Kris Devis tomonidan berilgan (Matematika o'qituvchisi, 2005 yil aprel, 518-bet).

Konfiguratsiya deyarli 46 -isbot bilan bir xil, lekin bu safar bizni ABCD to'rtburchaklar sohasi qiziqtiradi. Uning ikkala perpendikulyar diagonalining uzunligi c, shuning uchun uning maydoni c 2/2 ga teng. Boshqa tarafdan,

2 ga ko'paytirish kerakli natijani beradi.

Isbot №48

(W. J. Dobbs, Matematik gazeta, 8 (1915-1916), 268-bet.)

Diagrammada ikkita to'g'ri uchburchak - ABC va ADE - teng va E ABda joylashgan. Prezident Garfildning dalilida bo'lgani kabi, biz ABCD trapetsiyasi maydonini ikki xil baholaymiz:

bu erda, 47 -dalilda bo'lgani kabi, c & middotc to'rtburchaklar AECD ning ikkita perpendikulyar diagonalining mahsulotidir. Boshqa tarafdan,

Ikkalasini birlashtirib, biz c 2 /2 = a 2 /2 + b 2 /2 ni olamiz yoki 2 ga ko'paytirgandan so'ng,

Dalil № 49

Oldingi dalilda biz boshqacha yo'l tutishimiz mumkin. Ikki uchburchakning AB va AD tomonlarida bir kvadratni to'ldiring. Uning maydoni, bir tomondan, b 2, ikkinchi tomondan,

bu avvalgi identifikatorga teng.

46-49-dalillar o'rtasidagi munosabatni kuzatgan Duglas Rojers, agar ikkinchi uchburchak 46 va 47-dalillardagidek "pastki" holatida chizilgan bo'lsa, ikkita uchburchakning kichikroq oyoqlariga kvadrat chizish mumkinligini ham ta'kidlagan. bu holda, biz yana to'rt tomonlama ABCD maydonini ikki xil baholaymiz. Yuqoridagi diagrammalarning ikkinchisiga murojaat qilib,

U, shuningdek, to'g'ri uchburchaklardan biri 46 -sonli dalilda o'z pozitsiyasidan 48 -dalilda o'z pozitsiyasiga siljishini tasavvur qilish mumkin, shunda uning qisqa oyog'i boshqa uchburchakning uzun oyog'i bo'ylab siljiydi. Har qanday oraliq pozitsiyada diagonallari teng va perpendikulyar bo'lgan to'rtburchaklar mavjud, shuning uchun hamma pozitsiyalar uchun yuqoridagilarga o'xshash dalillar tuzish mumkin. Uchburchak har doim b tomonining kvadratida qoladi - ikki uchburchakning uzun oyog'ining uzunligi. Endi biz ABC uchburchagi bu kvadrat ichida qanday siljishini tasavvur qilishimiz mumkin. Bu 49-sonni to'g'ridan-to'g'ri umumlashtiradigan va 46-48-sonli dalillar konfiguratsiyasini o'z ichiga olgan dalilga olib keladi. Pastga qarang.

Isbot #50

KLMN katta maydonining maydoni b 2. Kvadrat 4 ta uchburchak va bitta to'rtburchakka bo'lingan:

Bu qiziqarli xulosa emas, lekin shuni ko'rsatadiki, algebraik iboralarni soddalashtirish vazifasi qo'yilganda, hamma qavslarni ko'paytirish barcha qavslarni olib tashlash uchun eng yaxshi strategiya bo'lmasligi mumkin. Ammo, bu holda, uzoq hisob -kitoblardan butunlay qochadigan yaxshiroq strategiya ham bor. Duglas Rojersning taklifiga binoan to'rtta uchburchakning har birini mos to'rtburchaklar bilan to'ldiring:

To'rtburchaklar har doim a o'lchamdagi kvadratni kesib tashlaydi, shuning uchun ularning umumiy maydoni b 2 - a 2 bo'ladi. Shunday qilib, biz ushbu seriyaning boshqa dalillarida bo'lgani kabi, dalilni tugatishimiz mumkin:

Isbot № 51

(W. J. Dobbs, Matematik gazeta, 7 (1913-1914), 168-bet.)

Bu Duglas Rojersning keng to'plamidan olingan. 2 -isbotda bo'lgani kabi, uchburchak 90 ° burchak ostida aylanadi, shunday qilib, ikki pozitsiyadagi gipotenuslar orasidagi burchak to'g'ri bo'ladi. Olingan b 2 maydonining shakli yon uzunligi va maydonlari c 2/2 bo'lgan ikkita to'g'ri uchburchakka bo'linadi.

Isbot #52

O'rta maktab o'quvchisi Jeymi deLemos (Matematika o'qituvchisi, 88 (1995), 79-bet) tomonidan kashf etilgan bu dalilni Larri Xoen keltirgan (Matematika o'qituvchisi, 90 (1997), 438-441 betlar). )

Bir tomondan, trapetsiyaning maydoni teng

Ikkisini tenglashtirish 2 + b 2 = c 2 ni beradi.

Dalil prezident Garfildning isboti bilan chambarchas bog'liq.

Isbot № 53

Larri Xoen shuningdek quyidagi dalilni nashr etdi (Matematika o'qituvchisi, 88 (1995), 168 -bet):

ABC to'g'ri burchakli uchburchakning AC oyog'ini D ga kengaytiring, shunda diagrammadagidek. D da CD ga perpendikulyar chiziladi. A da BAD burchagining bissektrisasini chizamiz. Ikkala chiziq E.da uchrashsin. Nihoyat, EF CF ga perpendikulyar bo'lsin.

Bu konstruktsiyaga ko'ra, ABE va ADE uchburchaklarining AE tomoni, boshqa ikki tomoni teng: shuningdek, bu tomonlar hosil qilgan burchaklar: Shuning uchun ABE va ADE uchburchaklar SAS bilan mos keladi. Bu erda ABE burchagi to'g'ri.

Shundan kelib chiqadiki, ABC va BEF to'g'ri burchakli uchburchaklardagi ABC va EBF burchaklari 90 o gacha qo'shiladi. Shunday qilib

Ikkala uchburchak o'xshash, shuning uchun

Ammo, EF = CD yoki x = b + c, bu yuqoridagi nisbat bilan birgalikda beradi

Boshqa tomondan, y = u + a ga olib keladi

c 2 = a 2 + b 2 ga osonlikcha soddalashtiriladi.

Isbot #54k

Keyinchalik (Matematika o'qituvchisi, 90 (1997), 438-441-betlar.) Larri Xoen o'z daliliga ikkinchi marta qaradi va umumiy, aniqrog'i 1 parametrli dalillar oilasini yaratdi. parametr, uning eski isboti va #41. Quyida men Larri ishidan ilhomlangan soddalashtirilgan variantni taklif qilaman.

53 -dalilning muhim nuqtasini, ya'ni ABE to'rtburchaklar uchburchagiga va boshqa ABFga o'xshash, ko'paytirish uchun, biz diagrammada ko'rsatilgandek, kA, kb, kc, ba'zi k tomonlari bilan BEFni qo'yishimiz mumkin. . Diagrammaning mantiqiy bo'lishi uchun biz k ni shunday cheklashimiz kerakki, bu D ning A dan pastga tushmasligini ta'minlaydi.

Endi CDEF to'rtburchaklar maydonini to'g'ridan -to'g'ri uning ka va (kb + a) qirralarning hosilasi yoki BEF, ABE, ABC va ADE uchburchaklar maydonlarining yig'indisi sifatida hisoblash mumkin. Shunday qilib olamiz

soddalashtirilgandan keyin kamayadi

bu Pifagor taklifidan atigi bir qadam kam.

Isbot kb/a ni qondiradigan har qanday k qiymati uchun ishlaydi. Xususan, biz №41 dalilni olamiz. Bundan tashqari, 53 -sonli dalilga olib keladi. Albatta, biz AEFB trapezoidining maydonini ikki xil tarzda ifodalab, xuddi shunday natijaga erishardik. Bu prezident Garfildning isbotiga olib keladi.

Shubhasiz, trapezoid bilan ishlash kamroq cheklovli va har qanday ijobiy qiymat uchun ishlaydi.


Pifagor teoremasi: haqiqat yo'li - tarix


Matematika ta'limi bo'limi
J. Uilson, EMT 669

Pifagor teoremasi

Pifagor teoremasi qadimgi tsivilizatsiyalarga ma'lum bo'lgan birinchi teoremalardan biri edi. Bu mashhur teorema yunon matematik va faylasufi Pifagor nomi bilan atalgan. Pifagor Italiyaning janubida, Kortonada, Yunon dengiz portida, Pifagor matematik maktabiga asos solgan. U matematikaga ko'p hissa qo'shgan, garchi ulardan ba'zilari aslida uning shogirdlarining ishi bo'lsa kerak.

Pifagor teoremasi - Pifagorning eng mashhur matematik hissasi. Afsonaga ko'ra, Pifagor teoremani kashf qilganidan juda xursand bo'lib, ho'kizlarni qurbon qildi. Keyinchalik 2 -ning kvadrat ildizi mantiqsiz ekanligini va shuning uchun Pifagor va uning izdoshlarini qattiq bezovta qilgan ikkita butun sonning nisbati sifatida ifodalanishi mumkin emasligi haqidagi kashfiyot. Ular har qanday ikkita uzunlik birlik uzunligining ajralmas ko'paytmasi ekanligiga ishonishgan. 2 ning kvadrat ildizi mantiqsiz ekanligini bilishni bostirishga ko'p urinishlar qilingan. Hatto aytishlaricha, sirni oshkor qilgan odam dengizda cho'kib ketgan.

Pifagor teoremasi - to'g'ri burchakli uchburchaklar haqidagi bayon. Pifagor teoremasida shunday deyilgan:

& quot; To'g'ri burchakli uchburchak gipotenuzasiga qurilgan kvadrat maydoni qolgan tomonlarning kvadratlari maydonlarining yig'indisiga teng. & quot

Pifagor teoremasiga ko'ra, ikkita qizil kvadrat, A va B kvadratlarning yig'indisi ko'k kvadrat, S kvadrat maydoniga teng.

Shunday qilib, Pifagor teoremasi algebraik tarzda aytilgan:

tomonlari a, b va c uzunlikdagi to'g'ri burchakli uchburchak uchun, bu erda c - gipotenuzaning uzunligi.

Garchi Pifagor mashhur teoremaga mansub bo'lsa -da, ehtimol, bobilliklar ma'lum uchburchaklar natijasini Pifagoradan kamida ming yil oldin bilishgan. Yunonlar dastlab Pifagor teoremasining isbotini qanday namoyish qilgani noma'lum. Agar Evklid elementlarining II kitobining usullari ishlatilgan bo'lsa, ehtimol bu quyidagilarga o'xshash dalillarni ajratish turi edi:

& quotA+b tomonli katta kvadrat mos ravishda a va b qirralarning ikkita kichik kvadratiga bo'linadi va a va b tomonli ikkita teng to'rtburchaklar, bu ikki to'rtburchakning har biri c diagonalini chizish orqali ikkita teng to'rtburchaklar bo'linishi mumkin. To'rtburchakni rasmda ko'rsatilgandek, a+b tomonning boshqa kvadratiga joylashtirish mumkin.

Kvadrat maydonini ikki xil usulda ko'rsatish mumkin:

1. Ikki to'rtburchaklar va kvadratlar maydonining yig'indisi sifatida:


2. Kvadrat va to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisi sifatida:

Endi, bu tenglamalarda o'ng qo'lning ikkita ifodasini tenglashtirish, beradi


Demak, v ustidagi kvadrat a va b kvadratlarning yig'indisiga teng. (Burton 1991)

Pifagor teoremasining boshqa ko'plab dalillari bor. Ulardan biri zamonaviy matematik nazariyalar, Gnoman arifmetikasi klassikasi va osmonning aylana yo'llari mavjud bo'lgan eng qadimgi xitoy matnida topilgan zamonaviy xitoy tsivilizatsiyasidan kelib chiqqan.

Bu kitobdagi shaxsdan ilhomlangan Pifagor teoremasining isboti hind matematikasi Bhaskaraning Vijaganita (Ildiz hisoblari) kitobiga kiritilgan. Bxaskaraning isboti haqidagi yagona izohi shunchaki "Mana" edi.

Bu dalillar va Pifagor teoremasi atrofidagi geometrik kashfiyotlar Pifgor muammosi deb nomlanuvchi sonlar nazariyasidagi eng birinchi muammolardan biriga olib keldi.

Yonlari integral uzunlikdagi barcha to'g'ri uchburchaklarni toping va shu tariqa Pifagor tenglamasining musbat tamsayılaridagi barcha echimlarni toping:

Bu tenglamani qondiradigan uchta tamsayı (x, y, z) Pifagor uchligi deyiladi.


Barcha Pifagor uchliklarini hosil qiladigan formula birinchi marta Evklid elementlarining X kitobida paydo bo'lgan:


bu erda n va m - qarama -qarshi tenglik va m & gtn musbat butun sonlar.

Diophantus "Arifmetika" kitobida, bu formuladan foydalanib, to'g'ri burchakli uchburchaklar olish mumkinligini tasdiqladi, garchi unga boshqa fikrlash chizig'i ostida kelgan bo'lsa.

Pifagor teoremasi o'quvchilarga o'rta maktab yillarida tanishtirilishi mumkin. Bu teorema o'rta maktab yillarida tobora muhim ahamiyat kasb etmoqda. Pifagor teoremasining algebraik formulasini aytib o'tish kifoya emas. O'quvchilar geometrik aloqalarni ham ko'rishlari kerak. Pifagor teoremasini o'qitish va o'rganishni nuqta qog'oz, geoboard, qog'oz katlama va kompyuter texnologiyalari hamda boshqa ko'plab o'quv materiallari yordamida boyitish va takomillashtirish mumkin. Pifagor teoremasi manipulyativ va boshqa ta'lim manbalaridan foydalangan holda, talabalar uchun shunchaki ko'proq narsani anglatishi mumkin.

va raqamlarni formulaga ulash.

Quyida Pifagor teoremasining turli dalillari keltirilgan, shu jumladan Evklid. Bu dalillar, manipulyatsiya va texnologiya bilan bir qatorda, o'quvchilarning Pifagor teoremasi haqidagi tasavvurlarini ancha yaxshilaydi.

Quyida eng mashhur matematiklardan biri Evklidning isboti jamlangan. Bu dalilni Evklid elementlarining birinchi kitobida topish mumkin.

Taklif: To'g'ri burchakli uchburchaklarda gipotenuzadagi kvadrat oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng.

Evklid 2 -rasmda ko'rsatilgan Pifagor konfiguratsiyasi bilan boshlandi. Keyin u gipotenuzadagi kvadratdagi DJ segmentiga perpendikulyar chiziq qurdi. H va G nuqtalar bu perpendikulyarning gipotenuzadagi kvadrat tomonlari bilan kesishishi. U balandlik bo'ylab ABC o'ng uchburchagiga to'g'ri keladi. 3 -rasmga qarang.

Keyin Evklid HBDG to'rtburchaklarining maydoni miloddan avvalgi kvadrat maydoniga tengligini va HAJG to'rtburchaklarining o'zgaruvchan tokdagi kvadrat maydoniga teng ekanligini ko'rsatdi. U o'xshashlik tushunchasidan foydalanib, bu tengliklarni isbotladi. ABC, AHC va CHB uchburchaklar o'xshash. HAJG to'rtburchaklar maydoni (HA) (AJ) va AJ = AB bo'lgani uchun, maydon ham (HA) (AB). ABC va AHC uchburchaklar o'xshashligi degan ma'noni anglatadi

yoki isbotlanganidek, HAJG to'rtburchagining maydoni AC tomonidagi kvadratning maydoniga teng. Xuddi shu tarzda, ABC va CHG uchburchaklar o'xshash. Shunday qilib

Ikki to'rtburchaklar maydonlarining yig'indisi gipotenuzadagi kvadratning maydoni bo'lgani uchun bu dalilni yakunlaydi.

Evklid bu natijani iloji boricha tezroq o'z ishiga joylashtirishni xohlardi. Biroq, uning o'xshashligi bo'yicha ishi V va VI kitoblargacha bo'lmagani uchun, unga Pifagor teoremasini isbotlashning boshqa usulini topish kerak edi. Shunday qilib, u parallelogrammlar bir xil asosli va bir xil paralellar orasidagi uchburchaklar ikki barobar bo'lishidan foydalangan. CJ va BE ni chizish.

AHGJ to'rtburchaklar maydoni JAC uchburchagining maydonidan ikki barobar, ACLE kvadratining maydoni esa BAE juft uchburchagidan iborat. Ikki uchburchak SAS tomonidan mos keladi. Xuddi shu natija boshqa to'rtburchak va kvadrat uchun ham xuddi shunday. (Katz, 1993)

Bu dalilni ko'rsatish uchun GSP animatsiyasi uchun shu erni bosing.
Keyingi uchta dalil Pifagor teoremasining osonroq ko'rinadigan dalillari bo'lib, ular o'rta maktab matematika o'quvchilari uchun ideal bo'ladi. Aslida, bu talabalar o'zlarini qachondir qurish imkoniyatiga ega bo'lishining dalilidir.
Birinchi dalil uchta uchburchakka bo'lingan to'rtburchaklar bilan boshlanadi, ularning har biri to'g'ri burchakka ega. Buni kompyuter texnologiyalari yordamida yoki 3x5 o'lchamli indeksli kartani o'ng uchburchaklar shaklida kesish orqali ko'rish mumkin.

Ko'rinib turibdiki, 2 (yashil rangda) va 1 (qizil rangda) uchburchaklar 3 (ko'k rangda) uchburchak bilan to'liq bir -biriga to'g'ri keladi. Endi biz xuddi shu uchburchaklar yordamida Pifagor teoremasini isbotlashimiz mumkin.

I. 1 va 3 uchburchaklarni solishtiring.

E va D burchaklari mos ravishda bu uchburchaklardagi to'g'ri burchaklardir. Ularning o'xshashliklarini solishtirib, bizda bor

va 6 -rasmdan, miloddan avvalgi = AD. Shunday qilib,

Ko'paytirish orqali biz quyidagilarni olamiz:

II. 2 va 3 uchburchaklarni solishtiring:

2 va 3 uchburchaklarning o'xshashliklarini solishtirib, biz quyidagilarni olamiz:

4 -rasmdan, AB = CD. O'zgartirish orqali,

Nihoyat, 1 va 2 -tenglamalarni qo'shib, biz quyidagilarni olamiz:

Biz Pifagor teoremasini isbotladik.

Keyingi dalil - bu to'rtburchak bilan boshlanadigan Pifagor teoremasining yana bir isboti. U BA = DA bilan CADE to'rtburchagini qurishdan boshlanadi. Keyin, biz & ltBAD ning burchak bissektrisasini quramiz va uni F nuqtada ED bilan kesib o'tamiz. Shunday qilib, & ltBAF & ltDAF, AF = AF va BA = DA ga mos keladi. Shunday qilib, SAS bo'yicha BAF uchburchagi = DAF uchburchagi. & LtADF to'g'ri burchak bo'lgani uchun, & ltABF ham to'g'ri burchak.

Keyinchalik, m & ltEBF + m & ltABC + m & ltABF = 180 daraja va m & ltABF = 90 daraja bo'lgani uchun, & ltEBF va & ltABC bir -birini to'ldiradi. Shunday qilib, m & ltEBF + m & ltABC = 90 daraja. Biz buni ham bilamiz
m & ltBAC + m & ltABC + m & ltACB = 180 daraja. M & ltACB = 90 daraja bo'lgani uchun, m & ltBAC + m & ltABC = 90 daraja. Shuning uchun m & ltEBF + m & ltABC = m & ltBAC + m & ltABC va m & ltBAC = m & ltEBF.

AA o'xshashlik teoremasi bo'yicha EBF uchburchagi CAB uchburchagiga o'xshaydi.

Endi k, EBF va CAB uchburchaklar orasidagi o'xshashlik nisbati bo'lsin.

Shunday qilib, EBF uchburchagi ka, kb va kc uzunlikdagi qirralarga ega. FB = FD bo'lgani uchun, FD = kc. Bundan tashqari, to'rtburchakning qarama -qarshi tomonlari mos keladigan bo'lgani uchun, b = ka + kc va c = a + kb. $ K $ ni echib, bizda bor

va biz dalilni to'ldirdik.

Taqdim etiladigan Pifagor teoremasining navbatdagi isboti to'rtburchaklar uchburchakdan boshlanadi. Keyingi rasmda ABC uchburchagi to'g'ri burchakli uchburchakdir. Uning to'g'ri burchagi - C burchagi.

Keyingi rasmda ko'rsatilgandek, CDni AB ga perpendikulyar chizamiz.

1 va 3 uchburchaklarni solishtiring:

Uchburchak 1 (yashil) - biz CD tuzishdan oldin boshlagan to'g'ri uchburchak. Uchburchak 3 (qizil) - CD qurilishi natijasida hosil bo'lgan ikkita uchburchakdan biri.


13 -rasm
Uchburchak 1. Uchburchak 3.

Bu ikki uchburchakni solishtirib, biz buni ko'rishimiz mumkin

1 va 2 uchburchaklarni solishtiring:

Uchburchak 1 (yashil) yuqoridagi kabi. Uchburchak 2 (ko'k) - bu CD yaratish natijasida hosil bo'lgan boshqa uchburchak. Uning to'g'ri burchagi - D burchagi.


Shakl 14
Uchburchak 1. Uchburchak 2.

Bu ikki uchburchakni solishtirib, biz buni ko'ramiz

3 va 4 -tenglamalarni qo'shib, biz quyidagilarni olamiz:

11 va 12 -rasmlardan, CD bilan bizda (p + q) = c. O'zgartirish orqali biz olamiz

Taqdim etiladigan Pifagor teoremasining navbatdagi isboti bu trapezoiddan foydalaniladi.

Ushbu trapezoidni yaratish uchun ishlatilgan konstruktsiyaga ko'ra, bu trapezoid tarkibidagi 6 ta uchburchakning hammasi to'g'ri uchburchaklardir. Shunday qilib,

Trapetsiya maydoni = 6 uchburchaklar maydonlarining yig'indisi

Va maydon uchun tegishli formulalar yordamida biz quyidagilarni olamiz:

Biz trifezoid yordamida Pifagor teoremasining isbotini yakunladik.


Men taqdim etadigan Pifagor teoremasining navbatdagi isboti bu jumboqlar yordamida o'rgatilishi va isbotlanishi mumkin. Bu jumboqlarni Pifagor konfiguratsiyasi yordamida tuzish mumkin va keyin uni turli shakllarga ajratish mumkin.

Dalilni taqdim etishdan oldin, keyingi raqamni o'rganish kerak, chunki u to'g'ridan -to'g'ri dalilga tegishli.

Bu Pifagor konfiguratsiyasida gipotenuzadagi kvadrat 4 ta to'g'ri uchburchak va markazda MNPQ 1 kvadratga bo'lingan. MN = AN - AM = a - b bo'lgani uchun. MNPQ kvadratining har bir tomonining uzunligi a - b. Bu quyidagilarni beradi:

Gipotenuzadagi kvadrat maydoni = 4 uchburchaklar maydonlarining yig'indisi va MNPQ maydonining maydoni

Yuqorida aytib o'tganimizdek, Pifagor teoremasining bu isboti Pifagor konfiguratsiyasidan yasalgan jumboqlar yordamida yanada o'rganilishi va isbotlanishi mumkin. Talabalar bu jumboqlarni yasashlari mumkin, so'ngra gipotenuzadagi kvadratni yopish uchun o'ng uchburchakning oyoqlaridagi kvadratchalardan foydalanishlari mumkin. Bu ajoyib aloqa bo'lishi mumkin, chunki bu & quotands on & quot faoliyati. Shunda talabalar Pifagor teoremasini mustaqil ravishda isbotlash uchun jumboqdan foydalanishlari mumkin.


Bu jumboqni yaratish uchun, 17 -rasmda ko'rsatilgandek, kvadratni miloddan avvalgi ikki marta nusxa ko'chiring, bir marta AC -ning kvadrat ostiga va bir marta AC -ning o'ng tomoniga qo'ying.

Uchburchak CDE uchburchak ACB-ga oyoq-oyog'i bilan mos keladi.

ACB uchburchagida m & ltACB = 90 va tomonlari a, b, c uzunliklarga ega.

CDE uchburchagida m & ltCDE = 90 va tomonlari a, b, c uzunliklarga ega.

EGH uchburchagi ACB oyog'ining uchburchagi bilan mos keladi. M & ltEGH = 90 va uning yon tomonlari a va c uzunliklarga ega. EF = b-a = AI bo'lgani uchun, EG = b. Shunday qilib, CE va EH diagonallari v ga teng.


Pifagoralar, irrasional sonlar va pifagoralar nazariyasi

Pifagor - yunon matematikasi, ayni paytda VI asrda qadimgi faylasuf. U fanga, ayniqsa matematikaga katta ta'sir ko'rsatadi. Uning mashhur kamchiliklaridan biri bu deyarli hamma eshitmagan Pifagor teoremasidir. Pifagor teoremasi to'g'ri uchburchakning gipotenuzasi to'g'ri uchburchakning ikkinchi tomonining 2 -chi kvadratining yig'indisidir. Matematikadagi kamchiliklari tufayli u "Raqam otasi" deb ham nomlangan.

Gippas deb nomlangan o'quvchilardan biri, 𕔆 - har bir oyog'ining uzunligi 1 bo'lgan teng bo'lmagan uchburchakning gipotenuzasi - irratsional son. Biroq, keyin Gippas o'ldirildi, chunki Pifagor Gippas keltirgan dalillar bilan bahslasha olmaydi.

Gippas - Metapontumdan kelgan Pifagor shogirdi. U matematik, ayni paytda 6 -asr haqida qadimgi yunon faylasufi. U irratsional sonni ixtirochi deb hisoblardi, ayniqsa 2 va 87302 kvadrat ildizlari irratsional son ekanligini isbotlaydi. Qizig'i shundaki, ixtiro aynan o'limga sabab bo'lgan. Pifagoralar irratsional son mavjudligini ta'kidlaydilar. Pifagor va boshqa o'quvchilar barcha nmber ratsional sonlar va irratsional sonlar yo'q deb taxmin qilishdi. Gippas bu teoremani reductio ad absurdum (qarama -qarshilik bilan isbotlash) yordamida isbotlovchi raqamning irratsional son ekanligini isbotlaydi. Pifagor bu bayonot bilan bahslasha olmaydi va Gippas izdoshlarini noto'g'ri o'qitadi, deb o'ylay olmaydi, shuning uchun u Gippasni yutib yuborishga qaror qildi.

Aqlsiz raqam - bu bo'linmaydigan haqiqiy raqam (natija hech qachon to'xtamagan). Bunday holda, irratsional sonni a/b, a va b ni butun son, b dan farqli o'laroq, ifoda etish mumkin emas. Demak, irratsional son ratsional son emas. Irr, 𕔆 va e son kabi irratsional sonlarga misol. Phi raqami (π) biz tanigan vaqt mobaynida 3,14 lekin 3,1415926535897932 va#8230 raqamlari aniq emas. Bundan tashqari, 𕔆 raqami, agar biz formulani 1,41421356237309504880 va#8230. Va elektron raqam - 2,71828182 ….

Irrasional sonni reductio ad absurdum yordamida yoki ingliz tilida isbot deb nomlangan, qarama -qarshilik bilan isbotlash mumkin. Bu mantiqiy dalil taxmin bilan boshlangan, keyin taxmindan mantiqsiz yoki ziddiyatli bema'ni natija topilgan, shuning uchun taxminning xulosasi noto'g'ri bo'ladi va rad etish to'g'ri qimmatli bo'ladi. Matematik bayonot, ba'zida reductio ad absurdum bilan isbotlanadi, ya'ni isbot qilinadigan bayonotni rad etishni (inkor etishni) faraz qilib, qarama -qarshilikni pasaytiradi. Agar qarama -qarshilik mantiqiy ravishda aniqlansa, bu taxmin noto'g'ri ekanligini isbotladi, shuning uchun bayonot to'g'ri.

Qarama -qarshilik yoki redaktio ad absurdum bilan isbotlangan noto'g'ri dalil emas, lekin agar u haqiqatan ham bajarilsa, haqiqiy dalil bo'ladi. Agar qarama -qarshilik bilan isbotlash xato qilsa, xato isbotning emas, balki qarama -qarshilikning pasayishida yotadi.

Qadimgi yunon davridagi ziddiyat bilan isbotlashning klassik namunasi, ikkitaning kvadrat ildizi irratsional son ekanligini isbotlaydi (tamsayı bilan solishtirib bo'lmaydi). Bu so'z, aksincha, 2 - ratsional son, deb taxmin qilish yo'li bilan isbotlanadi, shuning uchun a/b butun sonini eng oddiy kasr bilan solishtirish mumkin. Agar a/b = 𕔆 bo'lsa, a2 = 2b2, demak, a2 juft sonli. Chunki toq sondan kvadrat juft bo'lishi mumkin emas, shuning uchun a - juft son. A/b eng oddiy fraktsiya bo'lgani uchun, b, albatta, anomaldir (chunki juft/juft sonning kasrini hali ham mo''tadil qilish mumkin). Ammo a soni juft bo'lgani uchun (2r = a deb hisoblang, a2 = 4r2 degan ma'noni anglatadi) 4 -sonli katak, b2 esa 2 -sonli (juftlik) son. Bu $ b $ - bu ham juft son, va bu $ b $ anomallar oldida xulosaga ziddir. Chunki 2 ning ratsional son ekanligi haqidagi taxmin, qarama -qarshilikka olib keladi, shubhasiz, noto'g'ri va inkor qilish (2 - mantiqsiz) to'g'ri bayonotdir.

Pifagor teoremasi juda mashhur bo'lgan Pifagor etishmasligidan biridir. Teorema qadimgi yunon matematigi va faylasufi deb atalgan, u Pifagor. Pifagor teoremaning ixtirochisi emas, lekin u teoremaning to'g'riligini isbotlagan birinchi odamlardir, shuning uchun u o'z nomiga o'xshash teoremani berib minnatdorchilik bildirdi.

Bu teorema shuni ko'rsatadiki, oyoqlaridagi keng kvadratchalarni yig'ish, gipotenuslarda keng to'rtburchaklar teng to'rtburchaklar. To'g'ri uchburchak - bu burchakka (90o0) ega bo'lgan uchburchak, oyoqlari ikki tomoni, burchakli burchaklari, gipotenuzasi esa to'g'ri burchak bilan ishlovchi uchinchi tomonidir. Bu teoremaning formulasi a2+ b2 = c2, bu erda a va b - to'g'ri uchburchakning qirralari, c - gipotenuza.


Foydali dastur: Har qanday shaklni sinab ko'ring

Biz diagrammada uchburchaklar ishlatdik, bu eng oddiy 2 o'lchovli shakl. Lekin chiziq segmenti tegishli bo'lishi mumkin har qanday shakl Masalan, doiralarni oling:

Endi biz ularni birlashtirsak nima bo'ladi?

Siz taxmin qildingiz: 5 -radiusli doira = 4 -radiusli + 3 -radiusli aylana.

Juda yirtqich, a? Biz Pifagor teoremasini maydon faktoriga ko'paytira olamiz (bu holda, pi) va har qanday shaklga bog'liqlikni o'ylab topamiz.

Yodingizda bo'lsin, chiziq segmenti bo'lishi mumkin shaklning istalgan qismi. Biz aylananing radiusini, diametrini yoki atrofini tanlagan bo'lardik-maydonning boshqa omili bo'lardi, lekin 3-4-5 nisbati haligacha saqlanib qoladi.

Shunday qilib, siz pitsa yoki Richard Nikson niqoblarini qo'shasizmi, Pifagor teoremasi sizga har qanday o'xshash shaklli joylarni bog'lashga yordam beradi. Endi ular sizga maktabda o'qitmagan narsa.


Pifagor teoremasi qurilishni va GPSni mumkin qiladi

OK, pop -viktorina vaqti. Sizda to'g'ri burchakli uchburchak bor, ya'ni ikki tomoni birlashib, 90 graduslik burchak hosil qiladi. Siz bu ikki tomonning uzunligini bilasiz. Qolgan tomonning uzunligini qanday aniqlash mumkin?

O'rta maktabda geometriyani o'rgangan bo'lsangiz va Pifagor teoremasini bilsangiz, bu minglab yillik matematik bayon.

Pifagor teoremasida aytilishicha, to'g'ri burchakli uchburchakda, to'g'ri burchakni tashkil etuvchi ikki tomonning kvadratlari yig'indisi uchinchi, uzun tomonning kvadratiga teng bo'lib, u gipotenuza deb ataladi. Natijada, gipotenuzaning uzunligini tenglama bilan aniqlash mumkin a 2 + b 2 = c 2 , unda a va b to'g'ri burchakning ikki tomonini ifodalaydi va v uzun tomoni.

Pifagor kim edi?

Juda zo'r hiyla, to'g'rimi? Ammo bu matematik hiyla -nayrang deb nomlangan odam deyarli hayratlanarli. Pifagor, Samos orolida tug'ilgan va miloddan avvalgi 570 yildan 490 yilgacha yashagan qadimgi yunon mutafakkiri, qandaydir falsafachi, matematik va mistik diniy etakchi kabi o'ziga xos xarakterga ega bo'lgan. Pifagor o'z hayotida gipotenuzaning davomiyligini aniqlash uchun unchalik mashhur emas edi, chunki u reenkarnasyonga ishongani va vegetarianlarning qattiq ovqatlanishini, diniy marosimlarga rioya qilishni va o'z-o'zini tarbiyalashni ta'kidlagan. u izdoshlariga o'rgatgan.

Pifagor biografi Kristof Ridweg uni baland bo'yli, kelishgan va xarizmatik shaxs sifatida tasvirlaydi, uning aurasi eksantrik libosi - oq xalat, shim va boshiga oltin gulchambar bilan kuchaygan. Uning atrofida g'alati mish -mishlar tarqaldi - u mo''jizalar ko'rsatishi mumkin edi, uning kiyimining tagida oltin sun'iy oyog'i bor edi va u bir vaqtning o'zida ikki joyda bo'lish kuchiga ega edi.

Pifagor hozirgi Italiya janubidagi Krotone port shahri yaqinida maktabga asos solgan va unga Pifagor yarim doira nomi berilgan. Maxfiylik kodiga qasamyod qilganlar, Kaballadagi yahudiy tasavvufiga o'xshash tarzda raqamlar haqida o'ylashni o'rgandilar. Pifagor falsafasida har bir raqam ilohiy ma'noga ega edi va ularning kombinatsiyasi kattaroq haqiqatni ochib berdi.

Bu kabi giperbolik obro'ga ega bo'lgan holda, Pifagor hamma vaqtlarning eng mashhur teoremalaridan birini yaratganiga ajablanarli emas, garchi u kontseptsiyani birinchi bo'lib o'ylab topmagan bo'lsa ham. Xitoy va Bobil matematiklari uni ming yillikda mag'lub etishgan.

& quot; Bizda aniq misollar orqali ular Pifagor munosabatlarini bilishganiga dalillar bor & quot;-deb yozadi matematika professori, Texas A & AM Universitetining Matematika bo'yicha Texnologiyalar vositachilik ko'rsatmalari markazi direktori G. Donald Allen elektron pochta orqali. & quotBarcha bobillik planshet topildi, u shartga mos keladigan raqamlarning turli uchliklarini ko'rsatadi: a 2 + b 2 = c 2 . & quot

Pifagor teoremasi bugungi kunda qanday foydali?

Pifagor teoremasi oddiy matematik mashq emas. U qurilish va ishlab chiqarishdan tortib navigatsiyaga qadar keng sohalarda qo'llaniladi.

Allen tushuntirganidek, Pifagor teoremasining klassik ishlatilishlaridan biri binolarning poydevorini qo'yishdir. & Ko'ryapsizmi, aytaylik, ma'bad uchun to'rtburchaklar poydevor qo'yish uchun to'g'ri burchak qilish kerak. Lekin buni qanday qila olasiz? Ko'zni qoralash bilanmi? Bu katta tuzilma uchun ishlamaydi. Ammo, agar siz uzunlik va kenglikka ega bo'lsangiz, Pifagor teoremasidan foydalanib, har qanday aniqlikka to'g'ri burchak yasashingiz mumkin.

Bundan tashqari, & quotBu teorema va unga aloqador bo'lganlar bizga butun o'lchov tizimini berdi, - deydi Allen. & quotU uchuvchilarga shamolli osmonda harakatlanishiga, kemalarga esa o'z yo'nalishini belgilashiga imkon beradi. Bu teorema tufayli barcha GPS o'lchovlari mumkin. & Quot

Navigatsiyada Pifagor teoremasi kema navigatoriga okeanning 300 kilometr shimolida va 400 mil g'arbida (480 kilometr shimolda va 640 kilometr g'arbda) okean nuqtasiga masofani hisoblash usulini beradi. Bundan tashqari, tepaliklar va tog'larning tikligini hisoblash uchun kartograflar ham foydalidir.

& quotBu teorema butun geometriyada, shu jumladan qattiq geometriyada ham muhim ahamiyatga ega, & quot; davom etadi Allen. & quot; Bu matematikaning boshqa sohalarida, fizikaning ko'p qismida, geologiyada, barcha mexanik va aeronavtika injeneriyalarida asosdir. Buni duradgorlar ishlatishadi, mashinistlar ham. Qachonki sizda burchaklar bo'lsa va sizga o'lchov kerak bo'lsa, sizga bu teorema kerak bo'ladi

Albert Eynshteyn hayotidagi shakllanish tajribalaridan biri 12 yoshida Pifagor teoremasining matematik isbotini yozish edi. Eynshteynning geometriyaga bo'lgan qiziqishi oxir -oqibat uning maxsus va umumiy nisbiylik nazariyalarini rivojlanishida muhim rol o'ynadi.


Videoni tomosha qiling: #Гурлантуман #прокурорнингбиркуни. Қонун устуворлигини бирга таъминлаймиз. (Iyul 2022).


Izohlar:

  1. Marlan

    Ishonamanki, siz xato qilgansiz. Ishonchim komil.

  2. Josias

    Xato qiling. Men buni isbotlay olaman. Menga kechqurun menga yozing, gapiring.

  3. Quaid

    Afsuski, endi ifoda eta olmayman - uchrashuvga kechikdim. Men qaytib kelaman - bu savol bo'yicha o'z fikrimni bildiraman.

  4. Tomeo

    Men boshqacha o'ylardim, bu masalada yordam uchun rahmat.



Xabar yozing